Question

Точка брошена наугад в круг x^2+y^2<=1. какова вероятность того, что расстояние от точки до центра превысит 0.5

Answer 1

x² + y² ≤ 1 — окружность с центром (0;0) и радиусом R = 1, область которой лежит внутри окружности.

Расстояние от точки до центра окружности превысит 0.5, если эта точка не попадет в окружность с центром (0;0) и r = 0.5

Площадь большей окружности $S_1=\pi R^2=\pi \cdot 1^2=\pi$

Площадь меньшей окружности: $S_2=\pi r^2=\pi\cdot0.5^2=0.25\pi$

Разность $S_1-S_2=\pi-0.25\pi=0.75\pi$

Вероятность того, что расстояние от точки до центра превысит 0,5, равна (по формуле геометрической вероятности):

   $P=\dfrac{S_1-S_2}{S_1}=\dfrac{0.75\pi}{\pi}=0.75$

Ответ: 0,75.

Answer 2

Мы знаем, что точка брошена наугад в круг x^2+y^2<=1, что означает, что её координаты будут равномерно распределены в пределах круга.

Чтобы определить вероятность того, что расстояние от точки до центра превысит 0.5, мы можем использовать геометрический подход. Расстояние между точкой и центром круга равно sqrt(x^2 + y^2), где (x, y) - координаты точки.

Мы хотим найти вероятность того, что расстояние от точки до центра превысит 0.5. Это означает, что мы должны найти площадь круга с радиусом 0.5 и разделить её на общую площадь круга с радиусом 1.

Площадь круга с радиусом r равна pir^2, поэтому площадь круга с радиусом 0.5 равна pi(0.5)^2 = 0.25*pi.

Общая площадь круга с радиусом 1 равна pi*1^2 = pi.

Таким образом, вероятность того, что расстояние от точки до центра превысит 0.5, равна:

P = (площадь круга с радиусом 0.5) / (общая площадь круга с радиусом 1) = (0.25*pi) / pi = 0.25.

Ответ: вероятность того, что расстояние от точки до центра превысит 0.5, равна 0.25 или 25%.