Question

Если к четырем числам a, b, c, d, составляющим арифметическую прогрессию, прибавить соответственно 2, 4, 11 и 28, то получатся четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию. Найдите сумму чисел a, b, c, d. а) 30 б) 27 в) – 23 г) – 27 д) – 30

Answer 1

3, 6, 9, 12.
Сумма 30.

Answer 2

Обозначим через $r$ знаменатель геометрической прогрессии. Тогда из условия задачи получаем систему уравнений: \begin{align*} a + 2 &= ar^3,\ b + 4 &= ar^2,\ c + 11 &= ar,\ d + 28 &= a. \end{align*} Выразим из первого уравнения $a$:

$$a = \frac{2}{r^3 - 1}.$$

Подставим это выражение для $a$ в четвертое уравнение:

$$\frac{2}{r^3 - 1} + 28 = \frac{2}{r^3 - 1} r^3,$$

откуда

$$r^3 + 14 = r^6 - 2.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$r^6 - r^3 - 16 = 0.$$

Решим это уравнение как квадратное относительно $r^3$:

$$r^3 = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 16}}{2} = 2, -8.$$

Отрицательный знаменатель не подходит, так что $r = \sqrt[3]{2}$.

Теперь можем выразить числа $a$, $b$, $c$, $d$ через $r$: \begin{align*} a &= \frac{2}{r^3 - 1} = \frac{2}{\sqrt[3]{4} - 1} = 6,\ b &= ar^3 - 2 = 2ar^2 = 12,\ c &= ar^2 - 4 = 2ar = 12 \sqrt[3]{2},\ d &= ar - 11 = 6 - 11 \sqrt[3]{4}. \end{align*} Сумма чисел $a$, $b$, $c$, $d$ равна $a + b + c + d = 6 + 12 + 12 \sqrt[3]{2} + (6 - 11 \sqrt[3]{4}) = 24 + 12 \sqrt[3]{2} - 11 \sqrt[3]{4}$. Ответ: $\boxed{\text{в)},-23}$.