Question

Вычислите предел последоваьельности lim(((2+3*n+3*n^2)/(3*n-1))+((5-4*n-4*n^2)/(4*n+7)))

Answer 1

$\lim_{n \to \infty} (\frac{2+3n+3n^2}{3n-1}-\frac{5-4n-4n^2}{4n+7}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{(2+3n+3n^2)*(4n+7)-(5-4n-4n^2)*(3n-1)}{(3n-1)*(4n+7)}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{25n^2+48n+9}{12n^2+17n-7}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{25+48/n+9/n^2}{12+17/n-7/n^2}) =\frac{25}{12}$

Answer 2

Для вычисления предела данной последовательности сначала нужно найти её явную формулу. Для этого раскроем скобки в каждой дроби:

(2 + 3n + 3n^2)/(3n - 1) + (5 - 4n - 4n^2)/(4n + 7) = = (2/(3n - 1)) + (5/(4n + 7)) + (3n/(3n - 1)) - (4n/(4n + 7)) + (3n^2/(3n - 1)) - (4n^2/(4n + 7))

Заметим, что когда n стремится к бесконечности, первые два слагаемых стремятся к 0, а оставшиеся три слагаемых стремятся к бесконечности. Для нахождения предела можно поэтапно упрощать выражение, устраняя маленькие слагаемые и оставляя только те, которые определяют предел.

Для начала заменим каждый член последовательности на эквивалентную ему дробь, в которой числитель и знаменатель разделены на n^2:

(2 + 3n + 3n^2)/(3n - 1) = (3/n - 1/(3n^2) + 2/n^2) (5 - 4n - 4n^2)/(4n + 7) = (-4/n - 4/n^2 + 5/n^2)

Теперь подставим эти дроби в исходную формулу и сгруппируем слагаемые:

(2/(3n - 1)) + (5/(4n + 7)) + (3n/(3n - 1)) - (4n/(4n + 7)) + (3n^2/(3n - 1)) - (4n^2/(4n + 7)) = = (3/n - 4/n - 1/(3n^2) - 4/n^2 + 2/n^2) + (5/n^2 + 3n/(3n - 1) - 4n/(4n + 7) - 4n^2/(4n + 7))

Заметим, что первое слагаемое можно упростить:

(3/n - 4/n - 1/(3n^2) - 4/n^2 + 2/n^2) = (-1/n - 1/(3n^2) - 2/n^2)

Второе слагаемое тоже можно упростить:

(5/n^2 + 3n/(3n - 1) - 4n/(4n + 7) - 4n^2/(4n + 7)) = = (5/n^2 + 3n/(3n - 1) - 4n(1 + n)/(4n + 7))

После упрощения выражения получаем:

(-1/n - 1/(3n^2) -