Question

найдите отношение радиуса к высоте цилиндрической консервной банки наибольшей вместимости при данной полной поверхности

Answer 1

Sп.п = 2*pi*R^2 + 2*pi*R*H - площадь полной поверхности. Если не учитывать крышку, то первое слагаемое будет без множителя 2.
H = (Sп.п - 2*pi*R^2)/2*pi*R - выражаем высоту через радиус, Sп.п. - заданная константа.
V = pi*R^2*H - подставляем сюда найденной для Н выражение.
V = pi *R^2  * (Sп.п - 2*pi*R^2)/2*pi*R  =
 = R * Sп.п./2  -  pi*R^3
Найдем теперь максимум выражения от R. Для этого ищем производную
V' = Sп.п/2 - 3*pi*R^2
Sп.п/2 - 3*pi*R^2 = 0
R^2 = Sп.п/(6*pi)
R =  +- корень из этого выражения
методом пробной точки ищем экстремумы:
   +                            -
0 ----- пол.корень --------
Ограничиваемся нулем, т.к.. радиус сугубо больше ноля.
Видим, что пол. корень - локальный и глобальный максимум.
R = sqrt(Sп.п/(6*pi))
H = (Sп.п - 2*pi*R^2)/2*pi*R 
H/R = (Sп.п - 2*pi*R^2)/2*pi*R^2 
R/H = (2*pi*R^2)/(Sп.п - 2*pi*R^2)
И сюда надо подставить найденное значение R = sqrt(Sп.п/(6*pi))

Соответственно, если без крышки, то двойка убирается и ответ чуть изменится.

Answer 2

Для решения этой задачи необходимо воспользоваться формулами для нахождения площади боковой поверхности и полной поверхности цилиндра.

Пусть радиус банки равен r, а высота равна h.

Тогда боковая поверхность цилиндра равна 2πrh, а полная поверхность - 2πr(h + r).

По условию задачи известна полная поверхность, пусть она равна S.

2πr(h + r) = S

2πrh + 2πr^2 = S

Выражаем r из этого уравнения:

r = (S - 2πrh) / (2πh)

Выражаем отношение радиуса к высоте:

r/h = (S/(2πh) - r)/r

r/h = S/(2πr^2 + 2πrh)

r/h = S/(2πr(r + h))

Таким образом, отношение радиуса к высоте цилиндрической консервной банки наибольшей вместимости при данной полной поверхности равно S/(2πr(r + h)).