Question

Интеграл x^2/ корень четвертой степени(1+x^4) dx= решите подробно. Не чисто ответ!

Answer 1

$\displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt[4]{1 + x^4}} \: \mathrm dx$ не выражается в элементарных функциях.

Конструкции вида $I = x^m(a + bx^n)^p \: \mathrm dx$ называются дифференциальными биномами. Интегралы от них выражаются в элементарных функциях только тогда, когда
а) $p \in \mathbb Z$ или
б) $\dfrac{m+1}{n} \in \mathbb Z$ или
в) $p + \dfrac{m + 1}{n} \in \mathbb Z$.

Подстановки дают:
а) $-\dfrac{1}{4}$
б) $\dfrac{3}{4}$
в) $-\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}$

Ни одно из чисел не является целым.

Answer 2

Для решения данного интеграла можно воспользоваться заменой переменной. Пусть $u = x^2$, тогда $du = 2x \, dx$. Перепишем исходный интеграл, используя данную замену:

$\int \frac{x^2}{\sqrt[4]{1+x^4}} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x \cdot x}{\sqrt[4]{1+(x^2)^2}} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{u}{\sqrt[4]{1+u^2}} \, du$

Теперь заменим корень четвертой степени на корень второй степени, чтобы упростить интеграл. Пусть $v = \sqrt[4]{1+u^2}$, тогда $dv = \frac{u}{4(v^3)} \, du$. Подставим это в выражение:

$\frac{1}{2} \int \frac{u}{\sqrt[4]{1+u^2}} \, du = \frac{1}{2} \int \frac{u}{v} \cdot \frac{4(v^3)}{u} \, dv = 2 \int v^2 \, dv = \frac{2}{3} v^3 + C$

Возвращаясь к исходным переменным:

$\frac{2}{3} v^3 + C = \frac{2}{3} \left(\sqrt[4]{1+u^2}\right)^3 + C = \frac{2}{3} \left(\sqrt[4]{1+x^4}\right)^3 + C$

Таким образом, окончательный ответ:

$\int \frac{x^2}{\sqrt[4]{1+x^4}} \, dx = \frac{2}{3} \left(\sqrt[4]{1+x^4}\right)^3 + C$