Question

Решить логарифмическое уравнение log^2(2x-3)+log^2(x+6)=3

Answer 1

Log₂(2x-3)+log₂(x+6)=3
ОДЗ:
2x-3>0      x+6>0
2x>3         x>-6
x>3/2
x∈(3/2;+∞)
log₂((2x-3)*(x+6))=3
log₂(2x²+9x-18)=3
log₂(2x²+9x-18)=log₂2³
2x²+9x-18=8
2x²+9x-18-8=0
2x²+9x-26=0
D=9²-4*2*(-26)=81+208=289
x=(-9-17)/4=-6,5 - не является корнем, так как не входит в ОДЗ
x=(-9+17)/4=2
Ответ: 2

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать следующий подход:

1. Применить свойства логарифмов для преобразования уравнения к более удобному виду.

2. Ввести новую переменную, чтобы свести уравнение к квадратному уравнению относительно этой переменной.

3. Решить полученное квадратное уравнение и проверить полученные решения.

4. Преобразование уравнения:

log^2(2x-3) + log^2(x+6) = 3

Мы можем применить свойства логарифмов, чтобы объединить два логарифма в один:

log^2((2x-3)(x+6)) = 3

Затем мы можем применить свойство логарифма, чтобы убрать квадрат:

log((2x-3)(x+6)) = sqrt(3)

2. Введение новой переменной:

Мы можем ввести новую переменную y = (2x-3)(x+6). Это позволит свести уравнение к квадратному уравнению относительно y:

log(y) = sqrt(3)

3. Решение квадратного уравнения:

Мы можем применить обратную функцию от логарифма, чтобы найти значение y:

y = 10^sqrt(3)

Затем мы можем решить квадратное уравнение относительно x:

(2x-3)(x+6) = 10^sqrt(3)

2x^2 + 9x - 6 - 10^sqrt(3) = 0

Используя формулу для решения квадратного уравнения, мы получаем два значения:

x = (-9 + sqrt(81 + 810^sqrt(3)))/4 или x = (-9 - sqrt(81 + 810^sqrt(3)))/4

Теперь мы можем проверить каждое решение, подставив его обратно в исходное уравнение и убедившись, что оно удовлетворяет ему.

Ответ: x = (-9 + sqrt(81 + 810^sqrt(3)))/4 или x = (-9 - sqrt(81 + 810^sqrt(3)))/4.