Question

Помогите пожалуйста! sinx + cosx = 1 - sin2x

Answer 1

Пусть $\sin x+\cos x =t$, тогда $\sin 2x=t^2-1$. Подставляем:

$t=1-(t^2-1)\\ t=1-t^2+1\\ t^2+t-2=0$

$t_2=-2$ не принадлежит $|t|\leq \sqrt{2}$

$t_2=1$

Возвращаемся к обратной замене:

$\sin x+\cos x=1\\ \sqrt{2} \sin(x+\frac{\pi}{4})=1\\ \sin(x+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2} } \\ x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}$

Answer 2

Sinx + cosx = 1 - sin2x
__________________
sin2x = ( sinx + cosx )² - 1
__________________

sinx + cosx = 1 - ( sinx + cosx )² + 1

( sinx + cosx )² + ( sinx + cosx ) - 2 = 0

Пусть sinx + cosx = t

t² + t - 2 = 0

t = - 2
t = 1

Обратная замена =>

1) sinx + cosx = -2

√2sin( x + π/4 ) = -2

sin( x + π/4 ) = - √2

-√2 не принадлежит промежутку [ -1 ; 1 ]

2) sinx + cosx = 1

√2sin( x + π/4 ) = 1

sin( x + π/4 ) = √2/2

a) x + π/4 = π/4 + 2πn, n € Z

x = 2πn, n € Z

b) x + π/4 = 3π/4 + 2πk, k € Z

x = π/2 + 2πk, k € Z

Ответ: х = 2πn, n € Z ; x = π/2 + 2πk, k € Z

Answer 3

Для решения этого уравнения мы можем использовать тригонометрические тождества. В частности, нам понадобятся следующие:

sin²x + cos²x = 1 (тождество Пифагора) sin2x = 2sinx cosx (двойной угол для синуса)

Теперь мы можем переписать исходное уравнение, используя эти тождества:

sinx + cosx = 1 - sin²x sinx + cosx = cos²x + sin²x - sin²x (используем тождество Пифагора) sinx + cosx = cos²x (упрощаем)

Теперь мы можем выразить cosx через sinx:

sinx + cosx = cos²x cosx = cos²x - sinx cosx = (1 - sin²x) - sinx (используем тождество Пифагора) cosx = 1 - sinx - sin²x

Теперь мы можем подставить этот результат в исходное уравнение и получить:

sinx + (1 - sinx - sin²x) = 1 - sin²x 1 - sin²x = 1 - sin²x

Мы видим, что уравнение верно для любого значения x, поэтому исходное уравнение имеет бесконечное множество решений.