Question

Найдите угол между меньшей стороной и диагональю прямоугольника если он на 30 градусов меньше угла между диагоналями и лежащего против меньшей стороны

Answer 1

Вроде как правильно должно быть

Answer 2

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $a$, а диагональ - $d$. Тогда угол между меньшей стороной и диагональю равен $\theta_1=\arctan{\frac{a}{d}}$.

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике со сторонами $a$ и $d$, где $d$ является гипотенузой, длина другой диагонали равна $\sqrt{d^2-a^2}$.

Пусть угол между диагоналями прямоугольника равен $\theta_2$. Тогда по косинусовому закону в треугольнике со сторонами $d$, $\sqrt{d^2-a^2}$ и $a$:

$\cos{\theta_2}=\frac{d^2+(d^2-a^2)-a^2}{2d\sqrt{d^2-a^2}}=\frac{2d^2-a^2}{2d\sqrt{d^2-a^2}}$

Из условия задачи известно, что угол между диагоналями на 30 градусов больше угла против меньшей стороны, т.е. $\theta_2=\theta_1+30^\circ$.

Теперь можно выразить $\cos{\theta_1}$ через $\cos{\theta_2}$, используя формулу для косинуса суммы:

$\cos{(\theta_1+30^\circ)}=\cos{\theta_1}\cos{30^\circ}-\sin{\theta_1}\sin{30^\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{\theta_1}-\frac{1}{2}\sin{\theta_1}$

Также можно выразить $\cos{\theta_1}$ через $a$ и $d$:

$\cos{\theta_1}=\frac{d}{\sqrt{a^2+d^2}}$

Сравнивая эти два выражения для $\cos{\theta_1}$, получаем уравнение:

$\frac{d}{\sqrt{a^2+d^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{\theta_1}-\frac{1}{2}\sin{\theta_1}$

Возводя обе части в квадрат и используя тождество $\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1$, получаем квадратное уравнение относительно $\sin{\theta_1}$:

$(\sqrt{3}d)^2\sin^2{\theta_1}+4ad\sin{\theta_1}+(a^2-d^2)^2=0$

Решая это уравнение, получаем два корня:

$\sin{\theta_1}=\frac{-2ad\pm\sqrt{4a^2d^2-3d^4-4a^4+6a^2d^2}}{2\sqrt{3}d^2}$