Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = х2 + 6х + 8, прямыми х= –2; х= –1 и осью абсцисс

Answer 1

Найдем первообразную
F(x)=1/3x^3+3x^2+8x
S=F(-1)-F(-2)=-1/3+3-8+8/3-12+16=-1+7/3=4/3

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x^2 + 6x + 8, прямыми x = -2, x = -1 и осью абсцисс, мы должны вычислить определенный интеграл этой функции на соответствующем интервале.

Сначала найдем точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс. Для этого мы должны решить уравнение f(x) = 0:

x^2 + 6x + 8 = 0

Данное квадратное уравнение можно решить, используя квадратное уравнение:

(x + 2)(x + 4) = 0

Таким образом, получаем два корня: x = -2 и x = -4.

Теперь мы можем найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x), прямыми x = -2 и x = -1, а также осью абсцисс, как разность интегралов функции f(x) на этих интервалах.

Площадь фигуры S = ∫[a, b] f(x) dx - ∫[c, d] f(x) dx,

где [a, b] - интервал между x = -2 и x = -1, [c, d] - интервал между x = -1 и осью абсцисс.

Вычислим каждый интеграл от функции f(x):

∫[a, b] f(x) dx = ∫[-2, -1] (x^2 + 6x + 8) dx,

∫[c, d] f(x) dx = ∫[-1, -4] (x^2 + 6x + 8) dx.

Вычислим эти интегралы:

∫[-2, -1] (x^2 + 6x + 8) dx = [(1/3)x^3 + 3x^2 + 8x] [-2, -1] = [(1/3)(-1)^3 + 3(-1)^2 + 8(-1)] - [(1/3)(-2)^3 + 3(-2)^2 + 8(-2)] = [(1/3)(-1) + 3(1) - 8] - [(1/3)(-8) + 3(4) + 16] = [-1/3 - 5] - [-8/3 + 12 + 16] = [-16/3] - [4/3] = -20/3.

∫[-1, -4] (x^2 + 6x + 8) dx = [(1/3)x^3 + 3x^2 + 8x] [-1, -4] = [(1/3)(-4)^3 + 3(-4)^2 + 8(-4)] - [(1/3)(-1)^3 + 3(-1