Question

Найдите длину средней линии треугольника ABC, параллельной указанной стороне. 1)A(3;1), B(-1;4), C(1;-1),AC; 2)A(2;-1), B(5;-1), C(2;3), AB 3)A(7;4), B(3;-6), C(-5;2), AC 4)A(10;5), B(3;2), C(6;-5), BC

Answer 1

Ответ на картинке внизу страницы

Answer 2

1. Точка пересечения высот треугольника ABC лежит на стороне AC. Обозначим эту точку как D. Тогда AD и BD - высоты треугольника ABC. Поскольку CD || AB, то треугольники ACD и ABC подобны. Значит, отношение длины средней линии треугольника ABC, параллельной стороне AC, к длине стороны AC равно отношению медианы треугольника ACD, проведённой к стороне AC, к длине стороны AC.

Найдём координаты точки D: AD - это высота треугольника ABC, проходящая через точку A. Уравнение прямой, содержащей сторону BC, имеет вид y = -x + 7. Уравнение высоты AD, проходящей через точку A, имеет вид y = (1/2)x + 1/2. Решая систему уравнений, получаем координаты точки D: D(1;2).

Длина стороны AC равна √((1 - 3)^2 + (-1 - 1)^2) = √13.

Медиана треугольника ACD, проведённая к стороне AC, проходит через точку M, середину стороны AC. Координаты точки M равны ((3+1)/2;(1-1)/2) = (2;0).

Длина медианы треугольника ACD, проведённой к стороне AC, равна √((2 - 1)^2 + (0 - 2)^2) = √5.

Таким образом, длина средней линии треугольника ABC, параллельной стороне AC, равна (1/2)√5/√13 = √65/13.

Ответ: √65/13.

2. Точка пересечения медиан треугольника ABC лежит на стороне AB. Обозначим эту точку как M. Тогда AM и BM - медианы треугольника ABC. Поскольку AB || CD, то треугольники ABC и ACD подобны. Значит, отношение длины средней линии треугольника ABC, параллельной стороне AB, к длине стороны AB равно отношению медианы треугольника ACD, проведённой к стороне AB, к длине стороны AB.

Длина стороны AB равна √((5 - 2)^2 + (-1 - (-1))^2) = 3.

Медиана треугольника ACD, проведённая к стороне AB, проходит через точку M,