Question

Дана окружность, длинна диаметра KL равна 15см. Из точки К проведены две равные хорды КМ и KN, длинна которых 12см, нужно вычислить длину хорд LM и LN

Answer 1

Треугольники KLM и KLN - прямоугольные, т.к. вписаны в окружность и опираются на её диаметр.
Значит по теореме Пифагора LM^2 = KL^2 - KM^2 = 15^2 - 12^2 =
= 225 - 144 = 81
Значит  $LM = \sqrt{81} = 9$
Аналогично  $LN = \sqrt{81} = 9$

Answer 2

Рисуем окружность и отмечаем на ней точки K, L, M и N:

scssCopy code
         N---(12)---O---(12)---M
         |                   |
 (15)    |                   |    (15)
         K--------- (x) -----L

Здесь O - центр окружности.

Так как KM и KN - равные хорды, то они равноудалены от центра окружности O. Поэтому можно провести диаметр окружности, проходящий через точки M и N. Обозначим точку пересечения диаметра с KL как X:

scssCopy code
         N---(12)---O---(12)---M
         |                   |
 (15)    |         X         |    (15)
         K--------- (x) -----L

Так как KM и KN - равные хорды, то у них равны длины отрезков KM и KN, опущенных на диаметр. Обозначим эти отрезки как KP и KQ соответственно:

scssCopy code
         N---(12)---O---(12)---M
         |          |        |
 (15)    |          |        |    (15)
         K-----(6)--P--(6)---Q--L

Так как KP и KQ равны, а O - центр окружности, то OP и OQ тоже равны.

Рассмотрим треугольник OLM. Он прямоугольный, так как OL - перпендикуляр к LM, а диаметр KL - перпендикуляр к OL (как радиус к касательной). Обозначим OL как h и LM как a. Тогда по теореме Пифагора:

cssCopy code
OM^2 = OL^2 + LM^2
(15/2)^2 = h^2 + a^2

Рассмотрим треугольник OPX. Он прямоугольный, так как OP и OQ равны, а X - середина KL. Обозначим OP как b. Тогда по теореме Пифагора:

scssCopy code
OX^2 = OP^2 - PX^2
(15/2)^2 = b^2 - (12/2)^2

Из этих двух уравнений можно выразить h и a через b:

cssCopy code
h^2 = (15/2)^2 - b^2
a^2 = (15/2)^2 - h^2 = (15/2)^2 - [(15/2)^2 - b^2] = b^2

Таким образом, LM = a = b = 6 см, а LN = 2a = 12 см. Ответ: LM = 6 см, LN = 12 см.