Question

Помогите решить уравнение y''-8y'+15y=xe^(3x)

Answer 1

Посмотрите предложенный вариант, по возможности перепроверьте арифметическую часть.

Answer 2

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение второго порядка, можно использовать метод вариации постоянных. Предположим, что решение имеет вид y(x) = C₁y₁(x) + C₂y₂(x), где y₁(x) и y₂(x) - это фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения y'' - 8y' + 15y = 0.

1. Найдем решения однородного уравнения. Характеристическое уравнение для данного уравнения имеет вид: r² - 8r + 15 = 0.

Решим это квадратное уравнение: (r - 3)(r - 5) = 0.

Таким образом, получаем два корня: r₁ = 3 и r₂ = 5.

Соответственно, фундаментальная система решений однородного уравнения имеет вид: y₁(x) = e^(3x) и y₂(x) = e^(5x).

2. Теперь, чтобы найти частное решение неоднородного уравнения, предположим, что y(x) = u(x)e^(3x), где u(x) - неизвестная функция.

Вычислим производные y(x): y'(x) = (u'(x) + 3u(x))e^(3x), y''(x) = (u''(x) + 6u'(x) + 9u(x))e^(3x).

Подставим эти выражения в исходное уравнение: (u''(x) + 6u'(x) + 9u(x))e^(3x) - 8(u'(x) + 3u(x))e^(3x) + 15u(x)e^(3x) = xe^(3x).

Сократим на e^(3x): u''(x) - 2u'(x) = x.

3. Решим полученное уравнение для u(x). Чтобы найти частное решение, можно использовать метод вариации постоянных снова. Предположим, что u(x) = A + Bx, где A и B - неизвестные константы.

Вычислим производные u(x): u'(x) = B, u''(x) = 0.

Подставим эти выражения в уравнение: 0 - 2B = x.

Отсюда получаем B = -x/2.

Таким образом, u(x) = A - (x/2).

4. Итак, у нас есть частное решение для u(x). Подставим его обратно в y(x) = u(x)e^(3x): y(x) = (A - (x/2))e^(3x).

Теперь можем записать окончательное решение уравнения: y(x) = C₁e^(