Question

Найдите все значения параметра , а при каждом из которых уравнение (a+1)x2 +(/a-2/-/a-10/)x+a=5 имеет два различных положительных корня

Answer 1

Задача простая идейно, но вычисления, надо сказать, не самые приятные. А чтобы их немного упростить, придется включить мозги. 
Итак, начинаем.
Обозначим
$f(x)=(a+1)x^{2}+(|a-2|-|a-10|)x+a-5=0$

Наличие двух положительных корней этого многочлена равносильно системе 

(a+1)f(0)>0;     (a+1)f'(0)<0;     D>0

Первое неравенство означает, что при (a+1)>0, то есть когда ветви параболы направлены вверх, функция f(x) должна быть положительной в нуле, а при (a+1)<0 отрицательной. Нарисуйте две параболы, пересекающиеся с осью OX справа от нуля, одну ветвями вверх, другую вниз, и Вы поймете суть этого условия. Однако этого условия недостаточно, поскольку парабола, пересекающаяся с осью OX слева от нуля, также удовлетворяет этому условию. Можно сказать, что это условие говорит о том, что корни расположены по одну сторону от нуля, неважно какую. 

Второе неравенство позволяет отбросить функции с отрицательными корнями. Посмотрите снова на картинку: если ветви идут наверх, то функция в нуле убывает, если вниз, возрастает. Убывание и возрастание мы проверяем с помощью производной, а умножение функции на старший коэффициент позволяет два случая объединить в один.
Если Вы хмуритесь и готовы бросить задачу, могу предложить Вам упрощенный вариант рассуждения: поскольку случай, когда старший коэффициент равен нулю, нас не интересует - ведь при таком старшем коэффициенте квадратное уравнение исчезает, а получающееся линейное, как легко видеть, будет иметь только одно решение, так вот, давайте разделим уравнение на старший коэффициент, тогда у нас будет парабола ветвями вверх, два случая рассматривать не надо. Визуально отличие будет в том, что раньше множитель (a+1) был в числителе, а теперь он в знаменателе. Но это ничего не меняет по существу.  

Ну и наконец третье неравенство всем должно быть очевидно - ведь корни не только должны существовать, они еще должны быть разными.

Первое неравенство (a+1)(a-5)>0 немедленно решается методом интервалов, a< - 1 или a>5.

Второе требует сноровки, если мы не хотим завязнуть в борьбе с неравенством с модулями:

(a+1)(|a-2|-|a-10|)<0. Чтобы избавиться от модулей, домножим это неравенство на очевидно положительную скобку (|a-2|+|a-10|); это равносильное преобразование. Далее заменяем произведение двух скобок на разность квадратов двух модулей, в результате чего модули чудесным образом исчезают, а разность квадратов двух выражений уже без модуля снова раскладываем в произведение:

(a+1)((a-2-a+10)(a-2+a-10)<0;
(a+1)(a-6)<0; a∈(-1;6).

Пересекая множества решений первого и второго неравенств, получаем a∈(5;6).

Остается посмотреть, для каких a дискриминант положителен:
D= (|a-2|-|a-10|)^2-4(a+1)(a-5)>0;
(a-2)^2+(a-10)^2-2|(a-2)(a-10)|-4a^2+16a+20>0;
a^2-4a+4+a^2-20a+100-4a^2+16a+20>2|a^2-12a+20|;
|a^2-12a+20|<-a^2-4a+62.

Здесь опять возникает тонкий момент (для тех, кто такой трюк не знает):
оказывается, неравенство |p|<q равносильно системе неравенств p<q и p> - q (на самом деле все просто: если q>0, то результат следует из геометрического определения модуля, если меньше или равен - система решений иметь не будет). Получаем
 
a^2-12a+20<-a^2-4a+62 и a^2-12a+20>a^2+4a-62;

2a^2-8a-42<0 и 16a<82;

(a+3)(a-7)<0 (то есть a∈(-3;7)) и a<41/8;

a∈(-3;41/8).

Осталось пересечь с (5;6)

Ответ: (5;41/8)

Answer 2

Для данного уравнения, чтобы имелось два различных положительных корня, необходимо выполнение следующих условий:

1. Дискриминант должен быть положительным.
2. Выражение под корнем в модуле (/a-2/-/a-10/) должно быть положительным.
3. Значение параметра "a" должно быть таким, чтобы уравнение имело решение.

Давайте по порядку проверим эти условия:

1. Дискриминант должен быть положительным: Дискриминант D для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac. В нашем случае, уравнение (a+1)x^2 + (/a-2/-/a-10/)x + a = 5 имеет коэффициенты a+1, (/a-2/-/a-10/), и a, поэтому: D = ((/a-2/-/a-10/))^2 - 4(a+1)(a-5).

2. Выражение под корнем в модуле (/a-2/-/a-10/) должно быть положительным: Чтобы это условие выполнялось, значения параметра "a" должны быть такими, чтобы оба числа (/a-2/) и (/a-10/) были положительными или оба были отрицательными.

3. Уравнение должно иметь решение: Для уравнения (a+1)x^2 + (/a-2/-/a-10/)x + a = 5, чтобы оно имело два положительных корня, дискриминант D должен быть положительным.

Сочетая все эти условия, мы можем найти значения параметра "a", при которых уравнение имеет два различных положительных корня. Однако, для упрощения решения, требуется дополнительная информация о значениях параметра "a" или диапазоне, в котором нужно найти эти значения.