Question

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно 3, а сторона основания - 5. Найдите косинус угла между плоскостями ABC1 и A1B1C. Можно расписывая, пожалуйста)

Answer 1

Пусть А - начало координат .
Ось X - AB
Ось Y - перпендикулярно X в сторону C 
Ось Z - AA1

координаты точек 
B(5;0;0)
C(2.5;2.5√3;0)
A1(0;0;3)
B1(5;0;3)
C1(2.5;2.5√3;3)

уравнение плоскости ABC1 - проходит через начало координат
ax+by+cz=0 
Подставляем координаты точек
5a=0    a=0
2.5a+2.5√3b+3c=0 
Пусть с= -1 тогда b=0.4√3
0.4√3y-z=0

уравнение плоскости A1B1C
ax+by+cz+d=0  
Подставляем координаты точек
3c+d=0
5a+3c+d=0
2.5a+2.5√3b+d=0

a=0 Пусть d= -3 тогда с=1 b= 0.4√3
0.4√3y+z-3=0

Косинус искомого угла равен 
| ((0.4√3)^2-1) | / ((0.4√3)^2+1)=13/37

Answer 2

Проведём секущую плоскость через ребро АА1 перпендикулярно АВ и А1В1. В этом сечении и получим плоский угол между заданными плоскостями. Он образован перпендикулярами из точек С1 на АВ и из С на А1В1. Проекции этих перпендикуляров на основание совпадают друг с другом и равны 5*cos30° = 5√3/2.
Искомый α угол равен:
α = 2arc tg(3/(5√3/2)) =  1,211782 радиан или 69,43001°.
Косинус этого угла равен  0,351351.

Можно прямо определить косинус  через треугольник с двумя сторонами по половине высоты С1Д (Д - середина АВ) и третьей - боковое ребро.
Ответ:  0,351351136.

Answer 3

Чтобы найти косинус угла между плоскостями ABC1 и A1B1C, мы можем использовать скалярное произведение нормалей этих плоскостей.

Сначала найдем нормали к каждой из плоскостей ABC1 и A1B1C.

Плоскость ABC1 проходит через три точки A, B и C1. Возьмем два вектора, лежащие на этой плоскости: AB и AC1. Нормаль к плоскости ABC1 будет равна их векторному произведению:

N_ABC1 = AB x AC1

Аналогично, плоскость A1B1C проходит через точки A1, B1 и C. Возьмем два вектора, лежащие на этой плоскости: A1B1 и A1C. Нормаль к плоскости A1B1C будет равна их векторному произведению:

N_A1B1C = A1B1 x A1C

Теперь нам нужно найти скалярное произведение этих нормалей:

cosθ = (N_ABC1 · N_A1B1C) / (|N_ABC1| |N_A1B1C|)

Для расчета скалярного произведения и норм давайте разложим все векторы на координаты.

Пусть A = (0, 0, 0), B = (5, 0, 0), C1 = (0, 5, 0), A1 = (0, 0, 3), B1 = (3, 0, 3), C = (3, 3, 3).

Тогда векторы AB и AC1 равны:

AB = B - A = (5, 0, 0) - (0, 0, 0) = (5, 0, 0) AC1 = C1 - A = (0, 5, 0) - (0, 0, 0) = (0, 5, 0)

Теперь вычислим их векторное произведение:

N_ABC1 = AB x AC1 = (5, 0, 0) x (0, 5, 0)

Для вычисления векторного произведения воспользуемся формулой:

N_ABC1 = ((y1 * z2 - y2 * z1), (z1 * x2 - z2 * x1), (x1 * y2 - x2 * y1))

N_ABC1 = ((0 * 0 - 5 * 0), (0 * 0 - 0 * 5), (5 * 0 - 0 * 0)) = (0, 0, 0)

Аналогично, найдем векторное произведение A1B1 и A1C:

A1B1 = B1 - A1 = (3, 0, 3) - (0,