Question

Найти точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости функции (x^2+4)/x

Answer 1

Пошаговое объяснение:

ДАНО: y = (x²+4)/x

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения: D(y)= R\{0} , X∈(-∞;0)∪(0;+∞). Не допускаем деления на 0 в знаменателе.  

2. Разрыв II-го рода при Х = 0. Вертикальных асимптота  - Х = 0.    

3. Наклонная асимптота: k = lim(+∞)Y(x)/x = 1

b = 0 и y(x) = x  - асимптота.

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ.  

x²+4 = 0 . Нулей функции нет.  

5. Интервалы знакопостоянства.    

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;0). Положительна: Y>0 - X∈(0;+∞;)  

6. Проверка на чётность.

Функция нечётная: Y(-x) = -Y(x) ,  

7. Поиск экстремумов по первой производной.      

y'(x) = 2 - (x²+4)/x² = (x²-4)/x² = 0.  

x² - 4 = (x - 2)*(x+2) = 0

x1 = -2,  x2 = 2 - точки экстремумов.  

8. Локальный максимум: y(-2) = - 4, минимум: y(2) = 4.  

9. Интервалы монотонности.    

Возрастает - X∈(-∞;-2)∪(2;+∞).  Убывает: X∈(2;0)∪(0;2).  

10. Поиск перегибов по второй производной.    

y"(x) = 2/x - 2*(x²-4)/x³ =  8/x³ = 0  

Точки перегиба нет, кроме разрыва при Х = 0.      

11. Вогнутая - "ложка"- X∈(0;+∞;), выпуклая - "горка" - X∈(-∞;0);    

12. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).    

13. График функции на рисунке в приложении.  

Answer 2

Чтобы найти точки перегиба и интервалы выпуклости, вогнутости функции $f(x) = \frac{{x^2 + 4}}{x}$, нужно вычислить её вторую производную и проанализировать её знаки.

1. Найдем первую и вторую производные функции $f(x)$: Первая производная: $f'(x) = \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{x^2 + 4}}{x}\right)$

   Используя правило дифференцирования частного и общее правило дифференцирования, получим: $f'(x) = \frac{{(2x \cdot x - (x^2 + 4) \cdot 1)}}{x^2}$ $f'(x) = \frac{{2x^2 - x^2 - 4}}{x^2}$ $f'(x) = \frac{{x^2 - 4}}{x^2}$ $f'(x) = 1 - \frac{{4}}{x^2}$

   Вторая производная: $f''(x) = \frac{{d}}{{dx}}(f'(x))$

   Используя правило дифференцирования, получим: $f''(x) = \frac{{d}}{{dx}}\left(1 - \frac{{4}}{x^2}\right)$ $f''(x) = 0 + \frac{{8}}{{x^3}}$ $f''(x) = \frac{{8}}{{x^3}}$

2. Найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю: $f''(x) = 0$ $\frac{{8}}{{x^3}} = 0$

   Так как дробь не может быть равна нулю, то у функции $f(x)$ нет точек перегиба.

3. Определим интервалы выпуклости и вогнутости функции, анализируя знаки второй производной:

   • Если $f''(x) > 0$, то функция выпукла в этом интервале.
   • Если $f''(x) < 0$, то функция вогнута в этом интервале.

   Рассмотрим знаки второй производной в трех интервалах:

   a) Для $x < 0$: Подставим любое отрицательное значение $x$ в $f''(x)$, например, $x = -1$: $f''(-1) = \frac{{8}}{{(-1)^3}} = -8 < 0$ Значит, функция $f(x)$ вогнута при $x < 0$.

   b) Для $x > 0$: Подставим любое положительное значение $x$