Question

Вычислить х+у ,если х и у удовлетворяют системе: √х + √у =5 √ху =4

Answer 1

$\sqrt{x} + \sqrt{y } = 5 \\ \sqrt{xy} = 4 \\ {( \sqrt{x} + \sqrt{y} ) }^{2} = \\ x + 2 \sqrt{xy} + y = 25 \\ x + y = 25 - 2 \sqrt{xy} = \\ 25 - 2 \times 4 = 25 - 8 = 17 \\ x + y = 17$

Answer 2

Для решения этой системы уравнений воспользуемся методом подстановки.

Из первого уравнения имеем √х + √у = 5. Выразим √х через √у: √х = 5 - √у.

Подставим это значение во второе уравнение: √ху = 4. Получим (5 - √у)√у = 4.

Раскроем скобки: 5√у - √у^2 = 4.

Упростим: √у^2 - 5√у + 4 = 0.

Это квадратное уравнение относительно √у. Решим его.

Пусть z = √у. Тогда уравнение принимает вид z^2 - 5z + 4 = 0.

Разложим его на множители: (z - 4)(z - 1) = 0.

Таким образом, имеем два возможных значения для z: z = 4 или z = 1.

Вернемся к исходной переменной √у:

1. Если z = 4, то √у = 4, откуда у = 16.

2. Если z = 1, то √у = 1, откуда у = 1.

Теперь найдем соответствующие значения для √х, используя первое уравнение:

1. Если у = 16, то √х = 5 - √16 = 5 - 4 = 1, откуда х = 1.

2. Если у = 1, то √х = 5 - √1 = 5 - 1 = 4, откуда х = 16.

Таким образом, имеем две пары значений для х и у: (х = 1, у = 16) и (х = 16, у = 1).

Наконец, найдем сумму х + у для каждой пары:

1. При (х = 1, у = 16): 1 + 16 = 17.

2. При (х = 16, у = 1): 16 + 1 = 17.

Таким образом, х + у равно 17 в обоих случаях.