Question

доказать,что многочлен x^12+x^6+x^4+x^2+1 при всех значениях x прирбретает только положительные значения

Answer 1

Это очень просто, т.к степени положительные, то x>=0,но
у нас еще +1, то значение будет исключительно >0

Answer 2

Для доказательства того, что многочлен $x^{12} + x^6 + x^4 + x^2 + 1$ принимает только положительные значения для всех значений $x$, можно воспользоваться методом математической индукции.

1. Базовый шаг: Подставим в многочлен значение $x = 0$. Получим: $0^{12} + 0^6 + 0^4 + 0^2 + 1 = 1$. Таким образом, базовый шаг выполнен, и многочлен принимает положительное значение при $x = 0$.

2. Предположение индукции: Предположим, что многочлен $x^{12} + x^6 + x^4 + x^2 + 1$ принимает только положительные значения для некоторого значений $x = k$.

3. Индукционный переход: Докажем, что многочлен также принимает только положительные значения при $x = k + 1$. Подставим $x = k + 1$ в многочлен: $(k+1)^{12} + (k+1)^6 + (k+1)^4 + (k+1)^2 + 1$. Раскроем скобки и упростим выражение: $k^{12} + 12k^{11} + 66k^{10} + 220k^9 + 495k^8 + 792k^7 + 924k^6 + 792k^5 + 495k^4 + 220k^3 + 66k^2 + 12k + 1 + k^6 + 6k^5 + 15k^4 + 20k^3 + 15k^2 + 6k + 1 + k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + k^2 + 2k + 1 + 1$. Сгруппируем подобные члены: $(k^{12} + k^6 + k^4 + k^2 + 1) + 12k^{11} + 66k^{10} + 220k^9 + 792k^7 + 924k^6 + 792k^5 + 495k^4 + 220k^3 + 66k^2 + 12k + 6k^5 + 15k^4 + 20k^3 + 15k^2 + 6k + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 2k + 3$. Используя предположение индукции, мы знаем, что первое слагаемое $k^{12} + k^6 + k^4 + k^2 + 1$ является положительным числом для $x = k$. Каждый оставшийся член является полиномом с положительными коэффициентами, поскольку все