Question

Найдите все первообразные для функции: а) f(x)=3/sin^2x - sin x б) f(x)=x^5 - 10x + 3

Answer 1

F(x)=3ctgx+cosx

F(x=(x³)²/6-5x²+3x

Answer 2

а) Для функции $f(x) = \frac{3}{{\sin^2 x}} - \sin x$ найдем ее первообразную.

Интеграл от $\frac{1}{{\sin^2 x}}$ можно вычислить с использованием замены переменных. Пусть $u = \cos x$, тогда $du = -\sin x \, dx$. Также используем тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, чтобы выразить $\sin^2 x$ через $u$:

$$\begin{aligned} \int \frac{1}{{\sin^2 x}} \, dx &= \int \frac{1}{{1 - \cos^2 x}} \, dx \\ &= \int \frac{1}{{1 - u^2}} (-du) \\ &= -\int \frac{1}{{u^2 - 1}} \, du. \end{aligned}$$

Теперь мы получили интеграл, для которого известна первообразная. Применим метод разложения на простые дроби:

$$\begin{aligned} \int \frac{1}{{u^2 - 1}} \, du &= \int \left(\frac{{\frac{1}{2}}}{{u - 1}} - \frac{{\frac{1}{2}}}{{u + 1}}\right) \, du \\ &= \frac{1}{2} \ln|u - 1| - \frac{1}{2} \ln|u + 1| + C \\ &= \frac{1}{2} \ln\left|\frac{{u - 1}}{{u + 1}}\right| + C. \end{aligned}$$

Возвращаясь к переменной $x$, получаем:

$$\int \frac{3}{{\sin^2 x}} \, dx = -\frac{3}{2} \ln\left|\frac{{\cos x - 1}}{{\cos x + 1}}\right| + C_1,$$

где $C_1$ -- произвольная постоянная.

Интеграл от $-\sin x$ просто равен $\cos x$, поэтому:

$$\int \sin x \, dx = -\cos x + C_2,$$

где $C_2$ -- произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная для функции $f(x) = \frac{3}{{\sin^2 x}} - \sin x$ имеет вид:

$$F(x) = -\frac{3}{2} \ln\left|\frac{{\cos x - 1}}{{\cos x + 1}}\right| - \cos x + C,$$

где $C$ -- произвольная постоянная.

б) Для функции $f(x) = x^5 - 10x + 3$