Question

Коля изучает шестизначные числа, в записи которых есть все цифры от 1 до 6. Пример такого числа: 261354. Число 123457 или 111111 он не изучает. Коля выписал все эти числа в порядке возрастания. Ответьте на вопросы:Какое число будет 100-м по счёту в списке, полученном Колей?Чему равна сумма всех чисел, выписанных Колей?

Answer 1

Будем конструировать это число.

Механизм таков: n-ый разряд изменится на единицу через (6-n)! мест.

Так как 100<5!, то первая цифра 1. Вторая цифра дается неравенством

(k-2)×4! ≤100 ⇒ k=6; Число 162345 стоит на 97 (97=4×4!+1) месте. Так как 3!>4, то третья цифра 2. Далее очевидно получится число 162453.

Шестизначное число записывается в виде 10⁵a+10⁴b+...+c;

Сумма всех чисел a равна 5!(1+2+3+4+5+6) = 5!×21; Этому же числу равны и остальные суммы. Итого: 5!×21×(10⁵+10⁴+...+10+1)=120×21×111111=279999720

Answer 2

Чтобы определить 100-е число в списке, полученном Колей, мы можем создать все возможные перестановки шестизначных чисел, содержащих цифры от 1 до 6, и отсортировать их в порядке возрастания. Однако это займет много времени и ресурсов, поскольку всего таких чисел 720 (6! = 720).

Вместо этого можно применить более эффективный алгоритм. Заметим, что каждое из шести чисел, начинающихся с 1, будет идти перед каждым из шести чисел, начинающихся с 2, и так далее. Таким образом, для определения 100-го числа нам нужно определить, в каком диапазоне находится 100-е число, начинающееся с каждой цифры от 1 до 6.

Количество чисел, начинающихся с 1, равно 5! = 120. Количество чисел, начинающихся с 2, равно 5! = 120. Количество чисел, начинающихся с 3, равно 5! = 120. Количество чисел, начинающихся с 4, равно 5! = 120. Количество чисел, начинающихся с 5, равно 5! = 120. Количество чисел, начинающихся с 6, равно 5! = 120.

Таким образом, первые 600 чисел (120 * 5) будут иметь префиксами от 1 до 6. 601-е число будет начинаться с 1, 602-е с 2, 603-е с 3 и так далее.

Теперь нужно определить, какое конкретное число будет 100-м по счету в каждом диапазоне чисел.

Поскольку 100 делится на 20 без остатка (100 / 5 = 20), 100-е число будет начинаться с 6. Таким образом, первые 600 чисел будут иметь префиксами от 1 до 6, и 100-е число будет начинаться с 6.

Оставшиеся 100 чисел (от 601-го до 700-го) будут иметь префикс 6. Таким образом, чтобы найти 100-е число, начинающееся с 6, нужно взять 100-й элемент из перестановки оставшихся цифр (1, 2, 3, 4, 5).

Поскольку оставшиеся цифры упорядочены в порядке возрастания, мы можем использовать комбинаторику для определения этого числа.

Количество чисел, начинающихся с 6, и имеющих префиксы 1,