Question

Допоможіть будь ласка) Дослідити функцію на монотонність !! y=x^4-4x

Answer 1

Y`=4x³-4=4(x³-1)=0
x=1
           _                    +
---------------(1)---------------------
убыв          min  возр

Answer 2

Щоб дослідити функцію на монотонність, ми можемо взяти похідну функції і проаналізувати знак похідної на відрізках, які розділяють точки перегину функції.

Похідна від функції $y = x^4 - 4x$ може бути обчислена шляхом застосування правил диференціювання до кожного члена окремо. Отримаємо:

$y' = 4x^3 - 4$

Тепер, щоб знайти точки перегину функції, ми розв'яжемо рівняння $y' = 0$:

$4x^3 - 4 = 0$

Розділимо обидві частини на 4:

$x^3 - 1 = 0$

Факторизуємо:

$(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$

Отримали два розв'язки: $x = 1$ та $x^2 + x + 1 = 0$. Розв'язати квадратне рівняння $x^2 + x + 1 = 0$ неможливо за допомогою реальних чисел, тому лише одна точка перегину: $x = 1$.

Тепер ми можемо аналізувати знак похідної на різних відрізках:

1. Для $x < 1$: Підставимо значення, менше 1, до виразу $4x^3 - 4$. Наприклад, якщо вибрати $x = 0$, отримаємо $4(0)^3 - 4 = -4$. Оскільки похідна в цій області від'ємна, функція спадає.

2. Для $x > 1$: Підставимо значення, більше 1, до виразу $4x^3 - 4$. Наприклад, якщо вибрати $x = 2$, отримаємо $4(2)^3 - 4 = 28$. Оскільки похідна в цій області додатня, функція зростає.

За допомогою цих аналізів, ми можемо зробити висновок про монотонність функції $y = x^4 - 4x$:

• Функція спад