Question

Сколько одинаковых членов находится среди первых 2000 членов арифметических прогрессий 9, 11, 13, … и 3, 8, 13, … ?

Answer 1

В первой прогрессии все числа нечётны и идут через два. Во второй будем смотреть только на нечётные, начиная с 13. Они идут с разностью 10. То есть нас интересует, сколько чисел списка 13, 23, 33, ... помещается в обеих прогрессиях. Для первой прогрессии формула n-го члена имеет вид
an=a1+d(n−1)=2n+7.
При 
n=2000 получается число, оканчивающееся на 7; а перед ним
стоят числа, оканчивающееся на 5 и на 3. Нас интересует число под номером 1998, то есть a
1998=4003. Теперь надо узнать, сколько чисел имеется в списке 13, 23, ..., 4003. Все они входят в
обе прогрессии (во второй из них последнее число идёт под номером 801). Вычитаем из каждого числа списка по 3 и делим числа на 10. Получается список 1, ..., 400. В нём 400 чисел.

Answer 2

Для решения этой задачи необходимо найти общие члены в двух арифметических прогрессиях.

Для прогрессии 9, 11, 13, ... можно использовать формулу общего члена арифметической прогрессии:

a₁ = первый член = 9 d₁ = разность = 11 - 9 = 2

Таким образом, общий член данной прогрессии можно выразить как: aₙ = a₁ + (n - 1) * d₁

Аналогично, для прогрессии 3, 8, 13, ...: a₂ = первый член = 3 d₂ = разность = 8 - 3 = 5

Общий член данной прогрессии можно выразить как: aₙ = a₂ + (n - 1) * d₂

Теперь мы можем составить два списка с общими членами каждой прогрессии и найти их пересечение:

Для прогрессии 9, 11, 13, ...: a₁ = 9 a₂ = 9 + (2 - 1) * 2 = 11 a₃ = 9 + (3 - 1) * 2 = 13 ...

Для прогрессии 3, 8, 13, ...: a₁ = 3 a₂ = 3 + (2 - 1) * 5 = 8 a₃ = 3 + (3 - 1) * 5 = 13 ...

Общие члены: 13, 33, 53, 73, ...

Теперь мы можем определить, сколько одинаковых членов находится среди первых 2000 членов этих прогрессий, сравнивая их значения:

Список общих членов до 2000:

Прогрессия 9, 11, 13, ...: 13, 33, 53, 73, ... Прогрессия 3, 8, 13, ...: 13, 33, 53, 73, ...

Таким образом, среди первых 2000 членов обеих прогрессий имеется одинаковое количество общих членов, а именно 4.