Question

Найдите точки, в которых касательные к кривым f(x)=x^3−x−1 и g(x)=3x^2−4x+1 параллельны. Написать уравнения этих касательных.

Answer 1

Коэффициенты касательных должны быть равны
f`(x)=3x²-1
q`(x)=6x-4
3x²-1=6x-4
3x²-6x+3=0
x²-2x+1=0
(x-1)²=0
x=1
(1;-1) U (1;0)
Касательная к f(x)
f(1)=1-1-1=-1
f`(1)=3-1=2
y=-1+2(x-1)=-1+2x-2=2x-3
Касательная к q(x)
q(1)=3-4+1=0
q`(1)=6-4=2
Y=0+2(x-1)=2x-2

Answer 2

Чтобы найти точки, в которых касательные к кривым f(x) = x^3 - x - 1 и g(x) = 3x^2 - 4x + 1 параллельны, мы должны рассмотреть значения производных этих функций в этих точках.

Найдем производные функций f(x) и g(x):

f'(x) = 3x^2 - 1 g'(x) = 6x - 4

Теперь установим условие, что производные функций f(x) и g(x) должны быть равны, так как касательные параллельны:

f'(x) = g'(x)

3x^2 - 1 = 6x - 4

Перенесем все члены в одну сторону:

3x^2 - 6x + 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

x^2 - 2x + 1 = 0

(x - 1)^2 = 0

x - 1 = 0

x = 1

Таким образом, касательные к функциям f(x) = x^3 - x - 1 и g(x) = 3x^2 - 4x + 1 будут параллельны в точке x = 1.

Теперь найдем уравнения касательных в этой точке, используя значение x = 1:

Уравнение касательной к f(x) в точке x = 1:

f'(x) = 3x^2 - 1

f'(1) = 3(1)^2 - 1 = 2

Уравнение касательной к f(x) в точке (1, f(1)):

y - f(1) = f'(1)(x - 1)

y - (-1) = 2(x - 1)

y + 1 = 2x - 2

y = 2x - 3

Уравнение касательной к g(x) в точке x = 1:

g'(x) = 6x - 4

g'(1) = 6(1) - 4 = 2

Уравнение касательной к g(x) в точке (1, g(1)):

y - g(1) = g'(1)(x - 1)

y - (-2) = 2(x - 1)

y + 2 = 2x - 2

y = 2x - 4

Итак, уравнения касательных к кривым f(x) = x^3 - x - 1 и g(x) = 3x^2 - 4x + 1 в точке x = 1 будут:

f(x): y = 2x - 3 g(x): y = 2x - 4