Question

Помогите пожалуйста срочно надо исследуйте функцию с помощью производной и постройте график f(x) = x^4-2x^2-3

Answer 1

ДАНО
Функция Y=x⁴-2x²-3
ИССЛЕДОВАНИЕ
1) Область определения - X∈R  или Х∈(-∞,+∞)
Непрерывная. 
2) Пересечение с осью Х - х1 = - √3,  х2 = √3
3) Пересечение с осью У - У(0) = -3.
4) На четность -  Y(-x) =Y(x) - четная.
5) Первая производная для поисков точек экстремума.
Y' = 4x³-4x =4x*(x²-1) = 0.
Корни - х1 = 0  и х2 = -1 и х3 = 1.
6) Минимум - Y(-1) = -4
Максимум - Y(0) = -3
Минимум - Y(1) = -4.
7) Убывает - Х∈(-∞,-1]∪[0,1]
Возрастает - Х∈[-1,0]∪[1,+∞)
8) Вторая производная - поиск точек перегиба.
Y" = 12х² - 4 = 4*(3x²-1) = 0
x1 = - √3/3  x2 = √3/3 ~ 0.577.
9) Вогнутая - Х∈(-∞,-√3/3]∪[√3/3,+∞)
Выпуклая - Х∈[-√3/3, √3/3].
10) График в приложении.

Answer 2

Конечно! Давайте начнем с исследования функции с помощью производной.

Функция, данная вам, это f(x) = x^4 - 2x^2 - 3. Чтобы найти производную этой функции, возьмем производную от каждого члена и запишем ее в виде:

f'(x) = 4x^3 - 4x.

Теперь, чтобы построить график этой функции, нам необходимо найти корни производной, а также точки экстремума (максимумы и минимумы). Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

4x^3 - 4x = 0.

Факторизуем это уравнение:

4x(x^2 - 1) = 0.

Здесь мы получаем три значения x: x = 0, x = -1 и x = 1.

Теперь проверим вторую производную, чтобы определить характер точек экстремума. Возьмем производную от f'(x):

f''(x) = 12x^2 - 4.

Подставим найденные значения x = 0, x = -1 и x = 1 во вторую производную:

f''(0) = -4, f''(-1) = 8, f''(1) = 8.

Теперь у нас есть все необходимые сведения для построения графика. Давайте нарисуем его:

pythonCopy code
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-2, 2, 400)
y = x**4 - 2*x**2 - 3

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('График функции f(x) = x^4 - 2x^2 - 3')

plt.grid(True)
plt.axhline(y=0, color='k')
plt.axvline(x=0, color='k')

plt.show()

На этом графике мы увидим форму функции f(x) = x^4 - 2x^2 - 3 и определим точки экстремума, где график пересекает ось x и точки перегиба, где график меняет свой характер.

Надеюсь, эта информация полезна! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.