Question

помогите Найти частное и общен решение дифференцированных уравнений  уравнения  (x^2+1)dy=xydx   если y=2  при  x=√3как решить уже целый час мучаюсь

Answer 1

Ответ: $y=0.5(x^2+1)$

Пошаговое объяснение:

Данное диф. уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.... Разделим же переменные и затем проинтегрируем обе части уравнения

$\displaystyle \int\dfrac{dy}{y}=\int\dfrac{xdx}{x^2+1};~\Rightarrow~~\int \dfrac{dy}{y}=\int \dfrac{d(x^2+1)}{x^2+1}\\ \\ \ln|y|=\ln(x^2+1)+\ln C\\ \ln|y|=\ln(C(x^2+1)) \\y=C(x^2+1)$

Найдем теперь частное решение, подставляя начальные условия

$2=C((\sqrt{3})^2+1)\\ 2=4C\\ C=0.5$

$y=0.5(x^2+1)$ — частное решение.

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, вы можете использовать метод разделения переменных. Следуя этому методу, давайте начнем с исходного уравнения:

(x^2 + 1)dy = xydx

Для разделения переменных, мы переместим все выражения, содержащие y, на одну сторону уравнения, а выражения, содержащие x, на другую сторону:

dy/dx = (xy) / (x^2 + 1)

Теперь мы можем разделить переменные, переместив dx на одну сторону, а dy на другую:

(1 / y) dy = (x / (x^2 + 1)) dx

Теперь проинтегрируем обе части уравнения. Интегрируя левую часть, мы получим ln|y|, а интегрируя правую часть, мы можем использовать замену переменных, где u = x^2 + 1 и du = 2xdx:

∫(1 / y) dy = ∫(x / (x^2 + 1)) dx ln|y| = (1/2)∫(1/u) du ln|y| = (1/2) ln|u| + C1

Здесь С1 - произвольная постоянная интегрирования.

Используя свойство логарифма, мы можем записать это как:

ln|y| = ln|√(x^2 + 1)| + C1

Теперь применим экспоненту к обеим сторонам уравнения, чтобы избавиться от натурального логарифма:

|y| = e^(ln|√(x^2 + 1)| + C1)

Учитывая свойства экспоненты и модуля, мы можем записать это как:

|y| = e^(ln|√(x^2 + 1)|) * e^(C1)

|y| = √(x^2 + 1) * e^(C1)

Теперь рассмотрим постоянную e^(C1). Обозначим ее как C2, тогда:

|y| = √(x^2 + 1) * C2

Учитывая, что |y| - абсолютное значение, мы можем записать это как:

y = ± √(x^2 + 1) * C2

Итак, общее решение дифференциального уравнения будет:

y = ± √(x^2 + 1) * C2

где С2 - произвольная постоянная.

Теперь мы можем использовать начальные условия, чтобы найти конкретное решение для данного уравнения. При y = 2 и x = √3, мы можем подставить эти значения и решить уравнение для постоянной