Question

Найти монотонность и экстремум функции y=ln(x^2+x+1) - ln3/4

Answer 1

1)  y' = 1/(х² +х +1)  *(х² +х +1)' = (2x+1)/(x² +x +1)

2) (2x+1) = 0          x = -1/2

(x² +x +1) ≠ 0,

-∞              -1/2             +∞

       -                   +               это знаки производной.

убывание     возрастание

            x = -1/2  ( min )

Answer 2

Для определения монотонности и экстремумов функции y = ln(x^2 + x + 1) - ln(3/4), нам необходимо вычислить ее производную и проанализировать ее поведение.

Для начала найдем производную функции y по переменной x, используя правило дифференцирования логарифма и правило дифференцирования суммы:

y' = (2x + 1) / (x^2 + x + 1) - 0

Упростив выражение, получаем:

y' = (2x + 1) / (x^2 + x + 1)

Теперь рассмотрим монотонность функции. Функция будет возрастать (монотонно возрастать) на определенном интервале, если ее производная положительна на этом интервале. Аналогично, функция будет убывать (монотонно убывать) на интервале, если ее производная отрицательна на этом интервале.

Для того чтобы выяснить, когда производная положительна или отрицательна, нам нужно решить неравенство:

(2x + 1) / (x^2 + x + 1) > 0

Чтобы решить это неравенство, нам нужно определить знаки числителя и знаменателя. Заметим, что числитель (2x + 1) всегда положителен, так как он представляет собой линейную функцию с положительным коэффициентом при x. Знаменатель (x^2 + x + 1) является квадратным трехчленом, и его знаки зависят от его дискриминанта.

Дискриминант D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3

Поскольку дискриминант отрицателен, знаменатель всегда положителен. Таким образом, у нас есть положительное число, деленное на положительное число, что означает, что производная y' всегда положительна для всех значений x.

Это говорит о том, что функция y = ln(x^2 + x + 1) - ln(3/4) монотонно возрастает на всей числовой оси. Она не имеет ни максимумов, ни минимумов.

Итак, функция монотонно возрастает, но не имеет экстремумов.