Question

Решите неравенства: 3^(2x-5)+3^(2x-6)-3^(2x-7)-3^(2x-8)≤32 5^4x-5^(4x-1)+5^(4x-2)-5^(4x-3)≥104

Answer 1

$1)$

$3^{2x-5} + 3^{2x-6} - 3^{2x-7} - 3^{2x-8} \leq 32$

$3^{2x-5}(1+ 3^{-1} - 3^{-2} - 3^{-3}) \leq 32$

$3^{2x-5}(1+\frac{1}{3} } - \frac{1}{9} - \frac{1}{27} ) \leq 32$

$3^{2x-5}(1+ \frac{9}{27} } - \frac{3}{27} - \frac{1}{27} ) \leq 32$

$3^{2x-5}*1 \frac{5}{27} } \leq 32$

$3^{2x-5}*\frac{32}{27} } \leq 32$

$3^{2x-5} \leq 32* \frac{27}{32}$

$3^{2x-5} \leq 27$

$3^{2x-5} \leq 3^3$

$2x-5 \leq 3$

$2x \leq 8$

$x \leq 4$

-------------[4]-----------
//////////////

Ответ:  $(-$ ∞  $;4]$

$2)$

$5^{4x} - 5^{4x-1} + 5^{4x-2} - 5^{4x-3} \geq 104$

$5^{4x} (1- 5^{-1} + 5^{-2} - 5^{-3}) \geq 104$

$5^{4x} (1- \frac{1}{5} + \frac{1}{25} - \frac{1}{125} ) \geq 104$

$5^{4x} (1- \frac{25}{125} + \frac{5}{125} - \frac{1}{125} ) \geq 104$

$5^{4x} * \frac{104}{125} \geq 104$

$5^{4x} \geq 104* \frac{125}{104}$

$5^{4x} \geq 125$

$5^{4x} \geq 5^3$

$4x \geq 3$

$x \geq 0.75$

----------[0.75]-------------
                 /////////////////

Ответ:   $[0.75;+$ ∞  $)$

Answer 2

Давайте решим данные неравенства по одному.

1. Неравенство: $3^{2x-5} + 3^{2x-6} - 3^{2x-7} - 3^{2x-8} \leq 32$

Разложим все слагаемые с общим основанием 3:

$3^{2x-5} + 3^{2x-6} - 3^{2x-7} - 3^{2x-8} = \frac{1}{3^5} \cdot 3^{2x} + \frac{1}{3^6} \cdot 3^{2x} - \frac{1}{3^7} \cdot 3^{2x} - \frac{1}{3^8} \cdot 3^{2x}$

$= \frac{1}{243} \cdot 3^{2x} + \frac{1}{729} \cdot 3^{2x} - \frac{1}{2187} \cdot 3^{2x} - \frac{1}{6561} \cdot 3^{2x}$

$= \left(\frac{1}{243} + \frac{1}{729} - \frac{1}{2187} - \frac{1}{6561}\right) \cdot 3^{2x}$

$= \frac{2187 + 729 - 243 - 81}{2187} \cdot 3^{2x}$

$= \frac{2592}{2187} \cdot 3^{2x}$

$= \frac{16}{3} \cdot 3^{2x}$

Теперь неравенство примет вид: $\frac{16}{3} \cdot 3^{2x} \leq 32$

Умножим обе части на $\frac{3}{16}$, чтобы избавиться от коэффициента $\frac{16}{3}$:

$3^{2x} \leq \frac{3}{16} \cdot 32$

$3^{2x} \leq \frac{3}{16} \cdot 2^5$

$3^{2x} \leq \frac{3}{16} \cdot 32$

$3^{2x} \leq 6$

Теперь возьмём логарифм от обеих частей по основанию 3:

$\log_3{(3^{2x})} \leq \log_3{6}$

$2x \leq \log_3{6}$

$x \leq \frac{\log_3{6}}{2}$

Таким образом, решением данного неравенства является: $x \leq \frac{\log_3{6}}{2}$.

2. Неравенство: $5^{4x} - 5^{4x-1} + 5^{4x-2} - 5^{4x-3} \geq 104$