Question

Парабола проходит через точки A(0; 6), B(6; –6), C(1; 9). Найдите координаты её вершины.

Answer 1

Решение:
Квадратичная функция задаётся формулой вида  $y = a x^{2} + bx + c$
1) А(0;6) принадлежит графику, тогда её координаты удовлетворяют уравнению, 
$6 = a* 0^{2} + b*0 + c, 6 = c, y = a x^{2} + bx + 6$
2) В(6; -6) и С(1;9) тоже принадлежат графику, тогда
$\left \{ {{a* 6^{2} + b*6 + 6 = -6} \atop {a* 1^{2} + b*1 + 6 = 9 }} \right. ,$
$\left \{ {{a* 6 + b + 1 = - 1} \atop {a + b + 6 = 9 }} \right. ,$
$\left \{ {{6a + b = - 2} \atop {a + b = 3 }} \right.$
$\left \{ {{5a = - 5} \atop {a + b = 3 }} \right.$
$\left \{ {{a = - 1} \atop {a + b = 3 }} \right.$
$\left \{ {{a = - 1} \atop {- 1 + b = 3 }} \right.$
$\left \{ {{a = - 1} \atop {b = 4 }} \right$
$y = - x^{2} + 4x + 6$ - уравнение, задающее квадратичную функцию.
3) Найдём координаты вершины параболы:
$x_{0} = \frac{- b}{2a} = \frac{-4}{-2} = 2$
$y_{0} = y( 2) = - 2^{2} + 4*2 + 6 = - 4 + 14 = 10$,
(2; 10) - координаты вершины параболы.
Ответ: (2; 10).

Answer 2

Для нахождения координат вершины параболы, проходящей через точки A(0, 6), B(6, -6), C(1, 9), можно воспользоваться формулой общего уравнения параболы вида y = ax^2 + bx + c.

Подставим координаты точки A(0, 6) в уравнение: 6 = a * 0^2 + b * 0 + c 6 = c

Подставим координаты точки B(6, -6) в уравнение: -6 = a * 6^2 + b * 6 + c -6 = 36a + 6b + c

Подставим координаты точки C(1, 9) в уравнение: 9 = a * 1^2 + b * 1 + c 9 = a + b + c

Из первого уравнения получаем, что c = 6. Подставляя это значение c во второе уравнение, получаем: -6 = 36a + 6b + 6

-12 = 36a + 6b

Из третьего уравнения получаем, что a + b + c = 9. Подставляя значения a = -12/36 = -1/3 и c = 6, получаем: -1/3 + b + 6 = 9 b = 9 - 6 + 1/3 b = 11/3

Таким образом, мы получили значения a = -1/3, b = 11/3 и c = 6. Координаты вершины параболы можно найти с помощью формулы x = -b/2a и подстановки найденных значений: x = -(11/3) / (2 * (-1/3)) x = -(11/3) / (-2/3) x = 11/2

Подставим найденное значение x в любое из исходных уравнений, например, в уравнение y = ax^2 + bx + c: y = (-1/3)(11/2)^2 + (11/3)(11/2) + 6 y = -11/6 + 121/6 + 6 y = 66/6 y = 11

Итак, координаты вершины параболы равны (11/2, 11).