Question

14 учеников на олимпиаде решили 58 задач однако известно что среди них есть ученики решившие 2 , 3 , 4 задачи докажите что есть ученики решившие не менее 5 задач

Answer 1

14*4= 56, т.е даже если все бы решили по 4 задачи то их бы не хватило до 58 задач, а значит есть ученики решившие 5 задач

Answer 2

Давайте рассмотрим обратное утверждение и предположим, что нет учеников, решивших не менее 5 задач.

Пусть N1 обозначает количество учеников, решивших 2 задачи. Пусть N2 обозначает количество учеников, решивших 3 задачи. Пусть N3 обозначает количество учеников, решивших 4 задачи.

Тогда общее количество задач, решенных этими учениками, равно: 2N1 + 3N2 + 4*N3

Мы знаем, что всего было решено 58 задач, поэтому: 2N1 + 3N2 + 4*N3 = 58

Также известно, что всего было 14 учеников, поэтому: N1 + N2 + N3 = 14

Теперь предположим, что все N1, N2 и N3 равны 1 (то есть по одному ученику решило 2, 3 и 4 задачи соответственно).

Тогда получим: 21 + 31 + 4*1 = 2 + 3 + 4 = 9

Но это меньше, чем общее количество решенных задач (58). Это означает, что наше предположение неверно, и должны существовать ученики, решившие не менее 5 задач.

Таким образом, можно утверждать, что есть ученики, решившие не менее 5 задач.