Question

Докажите что у выпуклого шестиугольника у которого все углы равны стороны попарно параллельны

Answer 1

Рисуем шестиугольник АВСДЕФ. Углы шестиугольника равны:
180 * (n - 2) / n = 120 град
Проводим диагональ АД.
ФЕ параллельно АД, т. к.
угол АДЕ + угол ДЕФ = 60 + 120 = 180 град (т. е. АДЕФ - трапеция)
Аналогично доказывается ВС параллельно АД.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим выпуклый шестиугольник с равными углами и попарно параллельными сторонами. Обозначим вершины шестиугольника как A, B, C, D, E и F, а соответствующие стороны как AB, BC, CD, DE, EF и FA.

1. Параллельность сторон: По условию, все стороны попарно параллельны. Предположим, что это не так, и две стороны не параллельны. Пусть это будут стороны AB и CD. Тогда AB и CD пересекаются в точке P. Рассмотрим треугольник PBC. Угол PBC и угол BCP являются внутренними углами треугольника PBC и, следовательно, их сумма равна 180 градусов. Однако, по условию, углы шестиугольника равны, поэтому углы PBC и BCP также равны, а значит стороны AB и CD не могут пересекаться. Таким образом, все стороны попарно параллельны.

2. Равенство сторон: По условию, все стороны равны. Обозначим длину каждой стороны как a. Предположим, что это не так, и две стороны имеют разную длину. Пусть это будут стороны AB и BC, причем AB < BC. Тогда рассмотрим треугольник ABC. Угол ABC и угол BCA являются внутренними углами треугольника ABC, и их сумма равна 180 градусов. Однако, по условию, углы шестиугольника равны, поэтому углы ABC и BCA также равны. Так как AB < BC, то угол BCA должен быть больше угла ABC, что противоречит равенству углов. Следовательно, все стороны равны.

Таким образом, мы показали, что у выпуклого шестиугольника с равными углами и попарно параллельными сторонами все стороны равны и попарно параллельны.