Question

Доказать тождество (1+1/соs2a + tg2a)(1-1/cos2a + tg2a)=2tg2a

Answer 1

Раскрываем скобки получается
1-(1/cos2a)+tg2a+(1/cos2a)-(1/cos²2a)+(tg2a/cos2a)+tg2a-(tg2a/cos2a)+tg²2a=2tga
1+2tg2a-(1/cos²2a)+tg²2a=2tg2a
1-(1/cos²2a)+tg²2a=0
((cos²2a-1)/cos²2a)+tg²2a=0
тк cos²x+sin²x=1 то
((cos²2a-cos²2a-sin²2a)/cos²2a)+tg²2a=0
-(sin²2a/cos²2a)+tg²2a=0
доказано

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой части:

(1 + 1/cos(2a) + tg(2a))(1 - 1/cos(2a) + tg(2a))

Распределим это уравнение, чтобы упростить его:

= (1 + tg(2a) + 1/cos(2a))(1 - 1/cos(2a) + tg(2a))

Умножим каждый терм на общий знаменатель (cos(2a)):

= (cos(2a) + cos(2a) * tg(2a) + 1)(cos(2a) - 1 + cos(2a) * tg(2a))

Распределим снова:

= (cos(2a) * cos(2a) + cos(2a) * tg(2a) + cos(2a) - cos(2a) + cos(2a) * cos(2a) * tg(2a) - tg(2a) + tg(2a) * tg(2a))

Упростим выражение:

= (cos^2(2a) + cos(2a) * tg(2a) + cos(2a) - cos(2a) + cos^2(2a) * tg(2a) - tg^2(2a) + tg^2(2a))

Обратите внимание, что -cos(2a) и cos(2a) уничтожают друг друга:

= (cos^2(2a) + cos^2(2a) * tg(2a) + cos(2a) * tg(2a) + tg^2(2a))

Используем тригонометрическую тождественность: 1 + tg^2(θ) = sec^2(θ):

= (cos^2(2a) + cos^2(2a) * tg(2a) + cos(2a) * tg(2a) + (1 - cos^2(2a)))

Объединим подобные члены:

= (2cos^2(2a) * tg(2a) + 1)

Теперь, воспользуемся определением тангенса: tg(2a) = 2tg(a) / (1 - tg^2(a)):

= (2cos^2(2a) * (2tg(a) / (1 - tg^2(a))) + 1)

= (4cos^2(2a) * tg(a) / (1 - tg^2(a)) + 1)

Также, используем определение косинуса: cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a):

= (4(cos^2(a) - sin^2(a)) * tg(a) / (1 - tg^2(a)) + 1)

= (4cos^2(a)tg(a) - 4sin^2(a)tg(a)) / (1 - tg^2(a)) + 1)

Заметим, что sin^2(a) / cos^2(a) = tg^2(a), используя тригонометрическую тож