Question

Какое наименьшее количество множителей нужно вычеркнуть из произведения всех натуральных чисел от 1 до 28 , чтобы полученное число было точным квадратом ?

Answer 1

Точный квадрат это число которое можно представить в виде  a²=a*a
ну давайте искать множители чисел которые входят в произведение 
1=1, 2=2, 3=3, 4=2*2=2², 5=5, 6=2*3, 7=7, 8=2*2*2=2³, 9=3*3=3², 10=2*5, 11=11, 12=2*2*3=2²*3, 13=13, 14=2*7, 15=3*5, 16=2*2*2*2=2⁴, 17=17, 18=2*3*3=2*3², 19=19, 20=2*2*5=2²*5, 21=3*7, 22=2*11, 23=23, 24=2*2*2*3=2³*3, 25=5*5=5², 26=2*13, 27=3*3*3=3³, 28=2*2*7=2²*7
все переписываем 
считаем
1 степень любая (пусть будет 2)
2  - 25 (12*2+1 одна лишняя)
3 - 13 (6*2 + 1 лишняя)
5 - 6 (3*2)
7- 4 (2*2)
11 - 2 (2*1)
13 - 2 (2*1)
17 - 1 
19 - 1
23 - 1 
Итак с нечетной степенью это 17 19 23 и по одной у 2 и 3 (можно конечно вычеркнуть 2 и 3 но тогда будет больше чисел ) а 2*3=6
Вычеркиваем 6 17 19 23 (итого 4 числа) остальное произведение даст полный квадрат числа (1*2¹²*3⁶*5³*7²*11*13)²

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно разложить все числа от 1 до 28 на простые множители и выяснить, сколько различных множителей присутствует в нечётном количестве. Эти множители нужно будет вычеркнуть, чтобы получить точное квадратное число.

Разложение чисел от 1 до 28 на простые множители: 1 = 1 2 = 2 3 = 3 4 = 2^2 5 = 5 6 = 2 * 3 7 = 7 8 = 2^3 9 = 3^2 10 = 2 * 5 11 = 11 12 = 2^2 * 3 13 = 13 14 = 2 * 7 15 = 3 * 5 16 = 2^4 17 = 17 18 = 2 * 3^2 19 = 19 20 = 2^2 * 5 21 = 3 * 7 22 = 2 * 11 23 = 23 24 = 2^3 * 3 25 = 5^2 26 = 2 * 13 27 = 3^3 28 = 2^2 * 7

Теперь посчитаем, сколько различных множителей присутствует в нечётном количестве:

2: 1, 2, 4, 8, 16, 20, 24, 28 (8 раз) 3: 3, 9, 18, 27 (4 раза) 5: 5, 10, 15, 25 (4 раза) 7: 7, 14, 21, 28 (4 раза)

Таким образом, у нас есть 8 множителей 2, 4 множителя 3, 4 множителя 5 и 4 множителя 7. Чтобы получить точное квадратное число, мы должны вычеркнуть все эти множители.

Общее количество множителей, которые нужно вычеркнуть, равно: 8 + 4 + 4 + 4 = 20

Таким образом, наименьшее количество множителей, которые нужно вычеркнуть из произведения всех натуральных чисел от 1 до 28, чтобы полученное число было точным квадратом, равно 20.