Question

Исследовать на экстремум: z=2x-2y-x^2-y^2+6

Answer 1

Исследовать функцию двух переменных на экстремумы нужно так.
1) Находим x, y при которых dz/dx = 0 и dz/dy = 0
dz/dx = 2 - 2x = 0; x = 1
dz/dy = -2 - 2y = 0; y = -1
M0(1, -1); z(M0) = 2*1 - 2(-1) - 1^2 - (-1)^2 + 6 = 2+2-1-1+6 = 8
2) Находим производные второго порядка
A = d2z/dx^2 = -2; B = d2z/(dxdy) = d(2-2x)/dy = 0; C = d2z/dy^2 = -2
Проверяем значение выражения
AC - B^2 = (-2)(-2) - 0^2 = 4 > 0
Правило такое: Если AC - B^2 > 0, то экстремум в точке есть.
Причем, если A < 0 - максимум, если A > 0 - минимум.
Если AC - B^2 < 0, то экстремума нет.
Если AC - B^2 = 0, то требуются доп. исследования, но такого случая почти никогда не бывает.
У нас AC - B^2 = 4 > 0, A = -2 < 0 - это максимум.

Answer 2

Для исследования функции z = 2x - 2y - x^2 - y^2 + 6 на экстремумы, мы должны найти ее частные производные по переменным x и y, а затем приравнять их к нулю.

Частная производная по x: dz/dx = 2 - 2x Частная производная по y: dz/dy = -2 - 2y

Теперь приравняем их к нулю и решим уравнения:

2 - 2x = 0 -2 - 2y = 0

Из первого уравнения получаем: 2x = 2 x = 1

Из второго уравнения получаем: -2y = -2 y = 1

Таким образом, единственная точка, в которой частные производные равны нулю, это точка (x, y) = (1, 1).

Для определения, является ли эта точка экстремумом, нам необходимо проанализировать вторые частные производные. Найдем их:

Частная производная по x дважды: d^2z/dx^2 = -2 Частная производная по y дважды: d^2z/dy^2 = -2

Таким образом, вторые частные производные по x и y являются константами и отрицательными.

Если вторая производная по x и y одновременно отрицательны, то это указывает на максимум функции. В нашем случае, учитывая что d^2z/dx^2 = d^2z/dy^2 = -2, мы можем сделать вывод, что точка (1, 1) является максимумом функции.

Таким образом, экстремум функции z = 2x - 2y - x^2 - y^2 + 6 достигается в точке (1, 1) и равен 4.