Question

Найдите минимум функции g(x)=12x-x³

Answer 1

g(x)=12x-x³

Область определения функции: x ∈ R (х - любое число).

Найдём производную функции: g'(x)=(12x)'-(x³)'=12-3x².

Приравняем производную к нулю и решим уравнение (найдём критические точки функции):

12-3x²=0;

3x²=12;

x²=4;

x=±√4=±2.

Начертим координатную ось ОХ, отметим критические точки, определим знаки постоянства и экстремумы функции:

``` — ````min `` + `` max ```—
-----------о------------о----------> X
```````````` -2 `````````````` 2

x_min = -2

y_min = 12×(-2)-(-2)³ = -24 + 8 = -16

ОТВЕТ: минимум функции: (-2; -16).

Answer 2

G(x)=12x-x³
g'(x)=(12x-x³)'=12-3x²
найдём критические точки
g'(x)=0;12-3x²=0
3x²=12;x²=4
x=±2

3(4-x²)>0;3(2-x)(2+x)>0
g'(x)>0 функция возрастает
g'(x) <0 функция убывает

3(2-x)(x+2)>0
по методу интервалов
____-__-2_____+_____2_____-
x=-2 minimum
g(-2)=12•(-2)-(-2)³=-24+8=-16
ответ -16

Answer 3

Для нахождения минимума функции g(x) = 12x - x³ требуется найти критические точки и исследовать их при помощи второй производной. Давайте найдем производную функции g(x):

g'(x) = 12 - 3x².

Чтобы найти критические точки, необходимо приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение:

12 - 3x² = 0.

Выразим x²:

3x² = 12,

x² = 4,

x = ±2.

Итак, мы получили две критические точки: x = 2 и x = -2.

Теперь, чтобы определить, являются ли эти точки минимумами или максимумами, проанализируем вторую производную. Найдем производную второго порядка функции g(x):

g''(x) = -6x.

Подставим найденные критические точки во вторую производную:

g''(2) = -6 * 2 = -12,

g''(-2) = -6 * (-2) = 12.

Когда вторая производная отрицательна, это указывает на минимум, а когда она положительна - на максимум.

Таким образом, при x = 2, у функции g(x) есть минимум, а при x = -2 - максимум.

Минимум функции g(x) равен:

g(2) = 12 * 2 - 2³ = 24 - 8 = 16.