Question

Найти частные производные по x и y и дифференциал z=X^2*cos2xy-y^2sin(x+y)

Answer 1

$z'_x=2x\cos(2xy)-x^2\sin(2xy)\cdot 2y-y^2\cos(x+y);$

$z'_y=-x^2\sin(2xy)\cdot 2x-2y\sin(x+y)-y^2\cos(x+y);$

$dz=z'_x\, dx+z'_y\, dy$

Удовольствие подставить найденные z'_x и z'_y предоставляю автору задачи

Answer 2

Для нахождения частных производных по x и y и дифференциала функции z = x^2cos(2xy) - y^2sin(x+y), мы должны дифференцировать каждый компонент по отдельности. Давайте начнем:

Частная производная по x: Для нахождения частной производной по x, мы дифференцируем каждый компонент по x, сохраняя другие переменные неизменными:

∂z/∂x = ∂/∂x (x^2cos(2xy)) - ∂/∂x (y^2sin(x+y))

Дифференцируем каждый компонент по x по отдельности:

∂/∂x (x^2cos(2xy)) = 2xcos(2xy) - 2xy^2sin(2xy) ∂/∂x (y^2sin(x+y)) = -y^2cos(x+y) - ysin(x+y)

Поэтому частная производная по x равна:

∂z/∂x = 2xcos(2xy) - 2xy^2sin(2xy) - y^2cos(x+y) - ysin(x+y)

Частная производная по y: Для нахождения частной производной по y, мы дифференцируем каждый компонент по y, сохраняя другие переменные неизменными:

∂z/∂y = ∂/∂y (x^2cos(2xy)) - ∂/∂y (y^2sin(x+y))

Дифференцируем каждый компонент по y по отдельности:

∂/∂y (x^2cos(2xy)) = -4x^2xsin(2xy) ∂/∂y (y^2sin(x+y)) = 2ysin(x+y) - y^2cos(x+y)

Поэтому частная производная по y равна:

∂z/∂y = -4x^2xsin(2xy) + 2ysin(x+y) - y^2cos(x+y)

Дифференциал: Дифференциал функции z можно записать в следующем виде:

dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy

Подставляя частные производные, получаем:

dz = (2xcos(2xy) - 2xy^2sin(2xy) - y^2cos(x+y) - ysin(x+y))dx + (-4x^2xsin(2xy) + 2ysin(x+y) - y^2cos(x+y))dy

Это и есть дифференциал функции z.