Question

Формула для нахождения длинны дуги параболы вида ax²+bx+c

Answer 1

Ответ: 1. Выведем формулу через производную:

y = ax² + bx + c

y' = 2ax + b + 0 = 2ax + b

2ax + b ≥ 0 

2ax ≥ -b

Если a > 0, то x ≥ -b/2a, значит, x = -b/2a - точка минимума.

Как известно, в точке минимума функция принимает наименьшее значение.

Если a < 0, то x ≤ -b/2a, значит, x = -b/2a - точка максимума.

Как известно, в точке максимума функция принимает наибольшее значение.

2. Выделим полный квадрат:

y = ax² + bx + c

y = (ax² + bx) + c

y = a(x² + bx/a) + c

y = a(x² + 2bx/2a + b²/4a²) - b²/4a + c

y = a(x + b/2a)²  + (4ac - b²)/4a

Квадратичную функцию можно представить в виде y = a(x - m)² + l

В данном случае m = -b/2a, l = (4ac - b²)/4a.

Если рассмотреть функцию y = a(x - m)² + l, то понятно, что если a > 0, то при x = m функция будет принимать наименьшее значение, а если a < 0, то при x = m она будет принимать наибольшее значение.

Т.к. m = -b/2a, то при a > 0 и при x = -b/2a функция будет принимать наименьшее значение, при a < 0 и при x = -b/2a будет принимать наибольшее значение. 

Answer 2

Формула для нахождения длины дуги параболы вида ax²+bx+c может быть записана с использованием интеграла:

L = ∫[x₁,x₂] sqrt(1 + (f'(x))²) dx

где L - длина дуги параболы, x₁ и x₂ - начальная и конечная точки дуги соответственно, а f'(x) - производная функции f(x) = ax²+bx+c.

Для нахождения производной f'(x) необходимо взять производную от функции f(x) = ax²+bx+c. Результат будет следующим:

f'(x) = 2ax + b

Подставляя производную в формулу для длины дуги, получим окончательную формулу:

L = ∫[x₁,x₂] sqrt(1 + (2ax + b)²) dx