Question

Х²dy-½y³dx=0

Answer 1

х²dy-½y³dx=0

x^2dy=(1/2)y^3dx

 

2dy/y^3=dx/x^2

Проинтегрируем обе части равенства, получим

-(1/y^2)=-1/x+c

 

x=y^2+c

y=sqrt(x)+c

Answer 2

Это дифференциальное уравнение, известное как уравнение Бернулли. Давайте разберемся, как его решить.

Дано уравнение:

х²dy - ½y³dx = 0

Мы можем преобразовать его, разделив обе части на x²y³:

dy/y³ - ½dx/x² = 0

Теперь введем новую переменную u = y⁻², чтобы упростить уравнение:

du/dx - ½dx/x² = 0

Мы получили линейное уравнение, которое можно решить, интегрируя обе части:

∫du = ∫(½dx/x²)

u = -1/x + C₁

Теперь мы должны выразить y из новой переменной u:

u = y⁻²

y⁻² = -1/x + C₁

Теперь возьмем обратное значение от обеих сторон уравнения:

y² = -1/(x + C₁y²)

y = ± √(-1/(x + C₁y²))

Это окончательное решение уравнения Бернулли. Обратите внимание, что здесь присутствует константа интегрирования C₁, которая может быть определена из начальных условий задачи или других предоставленных данных.