Question

Решите уравнение 7sin²x+8cos-8=0

Answer 1

7(sin^2x)+8cosx-8=0
7(1-cos^2x)+8cosx-8=0
7-7cos^2x+8cosx-8=0
-7cos^2x+8cosx-1=0
Пусть t=cosx, где t€[-1;1], тогда,
-7t^2+8t-1=0
D=64-28=36
t1=(-8-6)/-14=1
t2=(-8+6)/-14=-2/-14=1/7
Вернёмся к замене:
cosx=1
x=2Πn, n€Z
cosx=1/7
x=+-arccos1/7+2Πk, k€Z
Ответ: +-arccos1/7+2Πk, k€Z; 2Πn, n€Z

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, связывающими синус и косинус:

1. Тождество Pythagorean: sin²(x) + cos²(x) = 1

2. Тождество cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) = 1 - 2sin²(x)

Заметим, что в уравнении присутствуют только члены sin²(x) и cos(x). Мы можем использовать тождество Pythagorean, чтобы заменить sin²(x) в уравнении.

7sin²(x) + 8cos(x) - 8 = 0 7(1 - cos²(x)) + 8cos(x) - 8 = 0 7 - 7cos²(x) + 8cos(x) - 8 = 0 -7cos²(x) + 8cos(x) - 1 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его, используя квадратное уравнение общего вида.

Из уравнения -7cos²(x) + 8cos(x) - 1 = 0, коэффициенты равны: a = -7, b = 8, c = -1

Для решения квадратного уравнения используем формулу: cos(x) = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

cos(x) = (-8 ± √(8² - 4*(-7)(-1))) / (2(-7)) cos(x) = (-8 ± √(64 - 28)) / (-14) cos(x) = (-8 ± √36) / (-14) cos(x) = (-8 ± 6) / (-14)

Таким образом, получаем два возможных значения для cos(x):

1. cos(x) = (-8 + 6) / (-14) = -2/(-14) = 1/7
2. cos(x) = (-8 - 6) / (-14) = -14/(-14) = 1

Теперь найдем соответствующие значения для sin(x), используя тождество Pythagorean:

1. cos(x) = 1/7 sin²(x) = 1 - cos²(x) = 1 - (1/7)² = 1 - 1/49 = 48/49 sin(x) = ± √(48/49) = ± (4√3) / 7

2. cos(x) = 1 sin²(x) = 1 - cos²(x) = 1 - 1² = 0 sin(x) = ± √0 = 0

Таким образом, получаем два решения уравнения:

1. x₁ = arcsin((4√3) / 7)
2. x₂ = arcsin(0)

Обратите внимание, что второе решение не содержит переменную x и является константой. Это означает,