Question

Докажите, что хорда , которая пересекает другую хорду в середине и перпендикулярно ей , то это хорда является диаметром.

Answer 1

Давайте рассмотрим две хорды, \(AB\) и \(CD\), которые пересекаются в точке \(O\) и проходят через центр круга \(O\). Пусть хорда \(AB\) пересекает хорду \(CD\) в точке \(E\) и перпендикулярна ей.

Так как хорда \(AB\) проходит через центр круга, она делит круг на две равные дуги. Аналогично, хорда \(CD\) также делит круг на две равные дуги. Поскольку хорда \(AB\) пересекает хорду \(CD\) в точке \(E\), эта точка делит обе хорды на две равные части.

Теперь рассмотрим треугольники \(\triangle OAE\) и \(\triangle OCE\). У этих треугольников общая сторона \(OE\), общий угол при вершине \(O\) (поскольку обе хорды перпендикулярны) и равные стороны \(OA = OC\) (поскольку обе стороны проходят через центр круга).

Из равенства сторон и углов следует, что треугольники \(\triangle OAE\) и \(\triangle OCE\) равны по стороне-угол-стороне (SAS). Таким образом, угол \(\angle AOE\) равен углу \(\angle COE\).

Теперь рассмотрим дугу между точками \(A\) и \(B\) и дугу между точками \(C\) и \(D\). Поскольку хорда \(AB\) делит круг на две равные дуги, угол \(\angle AOE\) также равен половине дуги между точками \(A\) и \(B\). Аналогично, угол \(\angle COE\) равен половине дуги между точками \(C\) и \(D\).

Так как углы \(\angle AOE\) и \(\angle COE\) равны, и они оба равны половине своих соответствующих дуг, то дуги между точками \(A\) и \(B\) и между точками \(C\) и \(D\) также равны.

Таким образом, мы видим, что хорда \(AB\) делит круг на две равные дуги, что означает, что \(AB\) является диаметром круга. Таким же образом можно показать, что хорда \(CD\) также является диаметром. Таким образом, если хорда пересекает другую хорду в середине и перпендикулярна ей, то она является диаметром круга.