Question

Докажите, что если AK и CM биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника ABC (AB = BC), то МК || AC.

Answer 1

Предположим, что ak и cm являются биссектрисами при основании абс равнобедренного треугольника abc (ab = bc) и их точки пересечения обозначим как точку К. Нам необходимо доказать, что MK || ac.

В равнобедренном треугольнике ак = km, так как являются биссектрисами (высотами), проведенными из вершин, образующих равные углы.

Рассмотрим треугольник асk. У него две боковые стороны равны (ак = kc) и углы при них равны (ак, km -- биссектрисы). Значит, треугольник акm равносторонний, и его углы имеют меру 60 градусов.

Допустим, луч MK пересекает сторону ac в точке N. Рассмотрим треугольник аkn. У него сторона kn равна стороне km (ак = km), угол аkn равен углу акm (так как луч mk || kn), и угол кан равен углу kam. Значит, треугольники акm и аkn подобны.

Так как акм -- равносторонний треугольник, его угол ami равен 60 градусов. Следовательно, углы akm и kai равны. Но угол мка прямой, поэтому угол ina тоже является прямым.

Так как в прямоугольном треугольнике nin угол nia прямой, а угол ani тоже прямой, то углы iaн прямой треугольник ajn прямоугольные, что говорит нам о том, что луч mk || ac.

Таким образом, доказано, что если ak и cm являются биссектрисами при основании равнобедренного треугольника abc, то MK || ac.