Question

1 Дан прямоугольный треугольник MBK. Определи ∡B, если∡K=51°. ∡B= 2 В равнобедренном треугольнике ABC проведена высота BD к основанию AC. Длина высоты — 10,3 см, длина боковой стороны — 20,6 см. Определи углы этого треугольника. ∡BAC= ° ∡BCA= ° ∡ABC= ° 3 В равнобедренном треугольнике ABC величина угла вершины ∡B=74°. Определи угол основания AC с высотой AM, проведённой к боковой стороне. ∡MAC= °

Answer 1

1. Для определения угла ∡B в прямоугольном треугольнике MBK, мы можем воспользоваться тем фактом, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Так как ∡K = 51°, и у нас есть прямой угол в вершине B, то угол ∡B можно найти, вычитая из 90° угол ∡K:

∡B = 90° - ∡K = 90° - 51° = 39°.

2. В равнобедренном треугольнике ABC с высотой BD, длина которой равна 10,3 см, и боковой стороной AC длиной 20,6 см, мы можем воспользоваться свойствами равнобедренного треугольника.

Поскольку BD является высотой, она делит треугольник на два равнобедренных треугольника ABD и CBD. Значит, AB = BD = CD.

Таким образом, мы можем разделить боковую сторону AC на две равные части, и получаем AB = CD = 20,6 / 2 = 10,3 см.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ABD, где AB = 10,3 см, BD = 10,3 см, и AD = AC = 20,6 см.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину отрезка AD: \(AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{10,3^2 + 10,3^2} \approx \sqrt{2 \cdot 10,3^2} \approx \sqrt{2} \cdot 10,3 \approx 14,56 \, \text{см}.\)

Теперь мы можем использовать теорему косинусов для нахождения углов треугольника ABC. Пусть ∡BAC обозначает угол при вершине A, ∡BCA — угол при вершине C, и ∡ABC — угол при вершине B.

Теорема косинусов: \(\cos(\angle) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc},\) где a, b, c — стороны треугольника, противолежащие углу ∠.

Применяем теорему косинусов к углам треугольника ABC: \(\cos(\angle BAC) = \frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC},\) \(\cos(\angle BCA) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC},\) \(\cos(\angle ABC) = \frac{AC^2 + AB^2 - BC^2}{2 \cdot AC \cdot AB}.\)

Подставляем известные значения: \(\cos(\angle BAC) = \frac{20,6^2 + 20,6^2 - 10,3^2}{2 \cdot 20,6 \cdot 20,6} \approx 0,5,\) \(\cos(\angle BCA) = \frac{10,3^2 + 20,6^2 - 20,6^2}{2 \cdot 10,3 \cdot 20,6} \approx 0,5,\) \(\cos(\angle ABC) = \frac{20,6^2 + 10,3^2 - 20,6^2}{2 \cdot 20,6 \cdot 10,3} \approx 0,5.\)

Теперь найдем значения углов: \(\angle BAC \approx \arccos(0,5) \approx 60^\circ,\) \(\angle BCA \approx \arccos(0,5) \approx 60^\circ,\) \(\angle ABC \approx \arccos(0,5) \approx 60^\circ.\)

3. В равнобедренном треугольнике ABC, где угол вершины ∡B равен 74°, мы хотим найти угол основания AC с высотой AM, проведенной к боковой стороне.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то ∠BAC = ∠BCA. Мы знаем, что ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°. Подставляем известные значения:

\(74° + ∠BCA + 74° = 180°,\) \(∠BCA = 180° - 74° - 74° = 32°.\)

Теперь мы можем использовать теорему косинусов, как ранее: \(\cos(\angle MAC) = \frac{AC^2 + AM^2 - CM^2}{2 \cdot AC \cdot AM}.\)

Поскольку треугольник равнобедренный, то CM = AC / 2, и AM = BD = 10,3 см.

Подставляем известные значения: \(\cos(\angle MAC) = \frac{20,6^2 + 10,3^2 - (20,6 / 2)^2}{2 \cdot 20,6 \cdot 10,3} \approx 0,6.\)

Теперь найдем значение угла: \(\angle MAC \approx \arccos(0,6) \approx 53,13^\circ.\)

Таким образом, ответы на заданные вопросы: 1. ∡B в прямоугольном треугольнике MBK: ∡B = 39°. 2. Углы треугольника ABC: ∠BAC = ∠BCA = ∠ABC ≈ 60°. 3. Угол