Question

В равнобедренном треугольнике ABC длина боковой стороны AB = 7, длина основания AC=4. На стороне AB взята точка D так что треугольник ACD подобен треугольнику ABC и D не совпадает с A и не совпадает с B. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника ACD.

Answer 1

Для начала, найдем высоту треугольника ABC, опущенную из его вершины A на сторону AC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота будет являться биссектрисой угла A. Высоту обозначим h.

Используя теорему Пифагора в треугольнике ABC, можно записать: h^2 + (ac/2)^2 = ab^2 h^2 + 2^2 = 7^2 h^2 + 4 = 49 h^2 = 45 h = √45 = 3√5

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Так как треугольник ACD подобен треугольнику ABC, то их соответствующие стороны пропорциональны.

Поскольку точка D лежит на стороне AB, то отношение сторон треугольников ABC и ACD равно отношению сторон AC и AD: AB/AC = AD/AC 7/4 = AD/4 AD = 7/4 * 4 = 7

Теперь мы можем найти площади треугольников ABC и ACD. Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу Герона: S_ABC = √(p * (p - ab) * (p - ac) * (p - bc)) где p - полупериметр треугольника ABC.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то его полупериметр равен: p = (ab + ac + bc)/2 = (7 + 4 + 7)/2 = 9

Теперь вычислим площадь треугольника ABC: S_ABC = √(9 * (9 - 7) * (9 - 4) * (9 - 7)) S_ABC = √(9 * 2 * 5 * 2) = √(180) = 6√5

Аналогично, найдем площадь треугольника ACD. Поскольку треугольник ACD является прямоугольным, его площадь можно найти по формуле: S_ACD = (1/2) * AD * h S_ACD = (1/2) * 7 * 3√5 = 21√5

Теперь можно найти отношение площадей треугольников ABC и ACD: отношение = S_ABC / S_ACD = (6√5) / (21√5) = 6/21 = 2/7

Отношение площади треугольника ABC к площади треугольника ACD равно 2/7.