Question

1) В треугольнике ABC угол C = 90 грагусов тангенс A = корень из 15. Найдите косинус A. 2) В треугольнике ABC угол C = 90 грагусов тангенс A = корень из 3 : на 3. Найдите синус A.

Answer 1

Давайте рассмотрим каждый вопрос по очереди.

1) В треугольнике ABC угол C = 90 градусов, тангенс A = √15. Найдите косинус A.

Используем основное тригонометрическое тождество для прямоугольного треугольника:

\[ \tan(A) = \frac{\sin(A)}{\cos(A)} \]

Мы знаем, что \(\tan(A) = \sqrt{15}\), и так как угол C = 90 градусов, то \(\cos(A) = \cos(90 - C) = \sin(C)\). Таким образом:

\[ \sqrt{15} = \frac{\sin(A)}{\sin(C)} \]

Теперь мы можем использовать факт, что \(\sin^2(A) + \cos^2(A) = 1\), чтобы найти \(\cos(A)\):

\[ \cos^2(A) = 1 - \sin^2(A) \]

\[ \cos(A) = \sqrt{1 - \sin^2(A)} \]

\[ \cos(A) = \sqrt{1 - \left(\frac{\sin(A)}{\sin(C)}\right)^2} \]

Так как \(\sin(C) = 1\) (при угле C = 90 градусов), у нас остается:

\[ \cos(A) = \sqrt{1 - \sin^2(A)} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{1}\right)^2} \]

\[ \cos(A) = \sqrt{1 - 15} = \sqrt{-14} \]

Так как косинус угла лежит в интервале [-1, 1], а у нас получилось отрицательное значение, мы можем сказать, что здесь произошла ошибка в условии задачи. Косинус угла не может быть мнимым числом.

2) В треугольнике ABC угол C = 90 градусов, тангенс A = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). Найдите синус A.

Аналогично используем тождество \(\tan(A) = \frac{\sin(A)}{\cos(A)}\). Так как угол C = 90 градусов, \(\cos(A) = \sin(C) = 1\). Таким образом:

\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sin(A)}{1} \]

Отсюда получаем, что \(\sin(A) = \frac{\sqrt{3}}{3}\).