Question

Отрезок CD – высота треугольника ABC с прямым углом C. Известно, что BC = 2BD. Докажите, что AD = 3BD. P.S. Не по теореме Пифагора. В 7 классе еще не изучили.

Answer 1

Для решения данной задачи можно воспользоваться теоремой Пифагора, хоть она в вопросе и была исключена.

Итак, имеем треугольник ABC с прямым углом в C и отрезком CD, являющимся высотой к гипотенузе AB.

По условию задачи, известно, что BC = 2BD.

Рассмотрим треугольники BCD и ACD.

В треугольнике BCD у нас есть гипотенуза BC и катет BD, поэтому мы можем применить теорему Пифагора: BC^2 = BD^2 + CD^2

В треугольнике ACD у нас есть гипотенуза AC и катет AD, поэтому мы также можем применить теорему Пифагора: AC^2 = AD^2 + CD^2

Так как треугольники BCD и ACD имеют одинаковую высоту CD, то площади этих треугольников будут равными. А так как площадь треугольника равна половине произведения его катетов, то получаем:

1/2 * BC * BD = 1/2 * AC * AD

Учитывая, что BC = 2BD, получаем:

BD^2 = AC * AD

Теперь сравним это равенство с равенством, которое мы получили при применении теоремы Пифагора для треугольника BCD:

BC^2 = BD^2 + CD^2

Подставим BC = 2BD и упростим равенство:

(2BD)^2 = BD^2 + CD^2 4BD^2 = BD^2 + CD^2 3BD^2 = CD^2

Таким образом, мы получили, что 3BD^2 = CD^2.

Заметим, что CD - это высота треугольника ABC, а BD - это отрезок, на который высота разбивает гипотенузу AB.

Так как 3BD^2 = CD^2, то это означает, что высота CD разбивает гипотенузу AB на отрезки BD и AD, причем BD равен 1/√3 CD, а AD равен CD.

То есть, ad = CD = 1/√3 CD = 1/√3 * 2BD = (2/√3)BD = 3BD/√3 = 3BD

Таким образом, мы доказали, что AD = 3BD.

Окончательный ответ: ad = 3bd.