Question

Найдите площадь фигуры , ограниченной линиями : y= 4-x^2; y= x^2-2x

Answer 1

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и вычислить интеграл площади между этими точками.

Для начала, найдем точки пересечения двух кривых:

y = 4 - x^2

y = x^2 - 2x

Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части уравнений:

4 - x^2 = x^2 - 2x

Перенесем все члены уравнения в одну часть:

2x^2 - 2x - 4 = 0

Разделим оба члена на 2:

x^2 - x - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

(x - 2)(x + 1) = 0

x = 2, x = -1

Значит, кривые пересекаются в точках (2, 0) и (-1, 3).

Таким образом, для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми y = 4 - x^2 и y = x^2 - 2x, нужно вычислить интеграл площади между x = -1 и x = 2.

Интегрируем по оси x:

S = ∫(x₁→x₂) [y(x)dx]

S = ∫(-1→2) [(4 - x^2) - (x^2 - 2x)] dx

S = ∫(-1→2) [4 - 2x] dx

S = [4x - x^2](-1→2)

S = [4(2) - (2)^2] - [4(-1) - (-1)^2]

S = [8 - 4] - [-4 + 1]

S = 8 - 4 + 4 - 1

S = 7

Ответ: площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 4 - x^2 и y = x^2 - 2x, равна 7.