Question

Найдите длину перпендикуляра, опущенного из точки М0(4; -1) на прямую 12x-5y-27=0

Answer 1

Для нахождения длины перпендикуляра, опущенного из точки \(M_0(4, -1)\) на прямую \(12x - 5y - 27 = 0\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти уравнение прямой в виде \(y = mx + b\), где \(m\) - коэффициент наклона, \(b\) - свободный член. Для этого уравнение приводится к виду \(y = \frac{12}{5}x - \frac{27}{5}\). 2. Определить координаты точки пересечения прямой с её перпендикуляром. Перпендикуляр к прямой с коэффициентом наклона \(m\) имеет коэффициент наклона \(-\frac{1}{m}\). Таким образом, перпендикуляр имеет уравнение вида \(y = -\frac{5}{12}x + c\). Теперь, найдем точку пересечения этого перпендикуляра с исходной прямой. 3. Решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} \frac{12}{5}x - \frac{27}{5} = -\frac{5}{12}x + c \\ y = -\frac{5}{12}x + c \end{cases} \]

Сначала приравняем выражения для \(y\):

\[ \frac{12}{5}x - \frac{27}{5} = -\frac{5}{12}x + c \]

Решим это уравнение относительно \(x\):

\[ \frac{12}{5}x + \frac{5}{12}x = \frac{27}{5} + c \]

Найдем общий знаменатель:

\[ \frac{144}{60}x + \frac{25}{60}x = \frac{135}{60} + c \]

\[ \frac{169}{60}x = \frac{135}{60} + c \]

Теперь найдем \(c\):

\[ c = \frac{169}{60}x - \frac{135}{60} \]

\[ c = \frac{34}{60}x - \frac{135}{60} \]

\[ c = \frac{17}{30}x - \frac{27}{12} \]

Теперь мы можем подставить \(c\) в уравнение для \(y\) и решить для \(x\):

\[ y = -\frac{5}{12}x + \left(\frac{17}{30}x - \frac{27}{12}\right) \]

\[ y = -\frac{5}{12}x + \frac{17}{30}x - \frac{27}{12} \]

\[ y = \frac{1}{60}x - \frac{27}{12} \]

4. Теперь, найдем координаты точки пересечения. Подставим \(y\) в уравнение для перпендикуляра:

\[ y = -\frac{5}{12}x + \frac{17}{30}x - \frac{27}{12} \]

\[ -\frac{1}{60}x = -\frac{27}{12} \]

Умножим обе стороны на \(-60\):

\[ x = \frac{27 \times 5}{2} \]

Таким образом, \(x = \frac{135}{2}\).

Теперь подставим найденное значение \(x\) в уравнение для \(y\):

\[ y = \frac{1}{60} \times \frac{135}{2} - \frac{27}{12} \]

\[ y = \frac{135}{120} - \frac{27}{12} \]

\[ y = \frac{9}{8} - \frac{27}{12} \]

\[ y = \frac{9}{8} - \frac{27}{12} \]

\[ y = \frac{9 - 27 \times 2}{8} \]

\[ y = \frac{9 - 54}{8} \]

\[ y = -\frac{45}{8} \]

Таким образом, координаты точки пересечения равны \( \left( \frac{135}{2}, -\frac{45}{8} \right) \).

5. Теперь, найдем расстояние между точкой \(M_0(4, -1)\) и точкой пересечения. Используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

\[ d = \sqrt{\left(\frac{135}{2} - 4\right)^2 + \left(-\frac{45}{8} + 1\right)^2} \]

Теперь можно вычислить значение \(d\).