Question

Помогите, пожалуйста, стереометрия!!! На ребре АВ правильной пирамиды SABC с основанием ABC отметили точку М. Сечение пирамиды некоторой плоскостью, проходящей через точку М, представляет собой параллелограмм. а). Докажите, что данное сечение является прямоугольником. б). Найдите в каком отношении точка М делит ребро АВ, если АВ=2, AS=8, а сечение является квадратом.

Answer 1

Давайте рассмотрим данную задачу по стереометрии.

Пусть \( O \) - вершина пирамиды \( SABC \), \( AB \) - ребро пирамиды, \( M \) - точка на ребре \( AB \), и \( P \) - точка пересечения секущей плоскости с пирамидой.

а) Докажем, что сечение является прямоугольником.

Рассмотрим треугольники \( AOP \) и \( BOP \). Угол \( AOB \) прямой, так как пирамида правильная. Также угол \( AOP \) и \( BOP \) прямые, так как они являются биссектрисами угла при вершине пирамиды.

Теперь рассмотрим треугольники \( AMO \) и \( BMO \). Угол \( AMO \) и \( BMO \) также прямые, так как они являются биссектрисами угла при вершине, а угол \( AOM \) и \( BOM \) прямые, так как \( AO \perp BO \).

Итак, у нас есть две пары прямых углов в каждом треугольнике, что означает, что треугольники \( AOP \) и \( BOP \) прямоугольные.

Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника, и их гипотенузы \( AO \) и \( BO \) лежат на плоскости основания пирамиды. Следовательно, сечение является прямоугольником.

б) Теперь найдем в каком отношении точка \( M \) делит ребро \( AB \).

Обозначим \( AM = x \), \( MB = 2 - x \) (так как \( AB = 2 \)). По условию, \( AS = 8 \), а сечение является квадратом, следовательно, \( MP = MS = AS/2 = 4 \).

Рассмотрим треугольники \( APM \) и \( BPM \). По теореме Пифагора в треугольнике \( APM \):

\[ AP^2 = AM^2 - MP^2 \] \[ AP^2 = x^2 - 16 \]

В треугольнике \( BPM \):

\[ BP^2 = BM^2 - MP^2 \] \[ BP^2 = (2 - x)^2 - 16 \]

Так как \( AB \) - ребро пирамиды, то \( AP + BP = 2 \). Таким образом,

\[ x^2 - 16 + (2 - x)^2 - 16 = 4 \] \[ x^2 - x - 20 = 0 \]

Решив это квадратное уравнение, найдем два значения \( x \). Однако, учитывая физический смысл задачи, мы видим, что \( x \) не может быть отрицательным или больше 2, так как это противоречит геометрии задачи.

Таким образом, отбросим отрицательный корень и корень, больший 2.

Остается единственный корень \( x = 5 \).

Таким образом, точка \( M \) делит ребро \( AB \) в отношении \( 5:3 \) (так как \( AM:MB = 5:3 \)).