Question

Дан прямоугольный треугольник. угол B равен 30 градусов угол C равен 90 градусов .Найдите внешний угол при вершине а Проведите его биссектрисы Докажите что биссектриса образует угол равный углу CAB .Найдите АС если АВ равно 16. МОЖНО С ОТВЕТОМ ПОЖАЛУЙСТА​

Answer 1

Дан прямоугольный треугольник ABC, где угол B равен 30 градусов, угол C равен 90 градусов. Обозначим стороны треугольника как AB, BC и AC, а углы как ∠A, ∠B и ∠C.

1. Нахождение внешнего угла при вершине A: В сумме углы треугольника равны 180 градусам. Углы B и C уже известны, поэтому угол A можно найти следующим образом: \[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ. \]

2. Построение биссектрисы угла A и доказательство: Биссектриса угла делит его на два равных угла. Если мы обозначим точку пересечения биссектрисы и стороны BC как D, то ∠CAD = ∠BAD и ∠DAC = ∠DAB. 3. Доказательство того, что биссектриса образует угол, равный ∠CAB: Из предыдущего шага мы знаем, что ∠CAD = ∠BAD. Также, угол CAB равен сумме углов CAD и DAB. Таким образом, \[ \angle CAB = \angle CAD + \angle DAB. \] Подставим известные значения: \[ \angle CAB = \angle BAD + \angle DAB. \] Из определения биссектрисы угла DAB, мы знаем, что ∠DAB = ∠DAC. Подставим это: \[ \angle CAB = \angle BAD + \angle DAC. \] Углы BAD и DAC образуют внутренний угол треугольника BAC, который по определению равен ∠CAB. Таким образом, мы доказали, что биссектриса образует угол, равный ∠CAB.

4. Нахождение AC: Мы знаем, что треугольник ABC — прямоугольный, поэтому можем использовать теорему Пифагора: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{16^2 + BC^2}. \]

Так как угол B равен 30 градусам, сторона BC против этого угла (гипотенузы) делится на две части, образуя равносторонний треугольник. Таким образом, BC = AB/2. Подставим это значение: \[ AC = \sqrt{16^2 + \left(\frac{16}{2}\right)^2} = \sqrt{256 + 64} = \sqrt{320} = 4\sqrt{5}. \]

Итак, ответы: - Внешний угол при вершине A равен 60 градусам. - Биссектриса угла A образует угол, равный углу CAB. - Длина AC равна \(4\sqrt{5}\).