Question

ПОМОГИТЕ ОЧЕНЬ НУЖНО  Ребро куба  ABCDA1B1C1D1  равно (а). Найдите расстояние между прямой AC1 и  BB1

Answer 1

Для решения этой задачи нам нужно найти расстояние между прямой \(AC_1\) и прямой \(BB_1\) на кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).

Чтобы найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в трехмерном пространстве, можно использовать метод векторного произведения.

Пусть \(A\) - это точка \(A\), \(C_1\) - это точка \(C_1\), \(B\) - это точка \(B\), а \(B_1\) - это точка \(B_1\). Тогда прямая \(AC_1\) задается вектором \(\overrightarrow{AC_1}\), а прямая \(BB_1\) задается вектором \(\overrightarrow{BB_1}\).

Вектор, перпендикулярный обеим этим прямым, можно найти с помощью векторного произведения данных векторов. Формула для векторного произведения двух векторов \(\vec{v}\) и \(\vec{w}\) выглядит так:

\(\vec{v} \times \vec{w} = |\vec{v}| \cdot |\vec{w}| \cdot \sin(\theta) \cdot \hat{n}\),

где \(|\vec{v}|\) и \(|\vec{w}|\) - длины векторов, \(\theta\) - угол между векторами, \(\hat{n}\) - единичный вектор, перпендикулярный плоскости, образованной \(\vec{v}\) и \(\vec{w}\).

Таким образом, найдем векторное произведение векторов \(\overrightarrow{AC_1}\) и \(\overrightarrow{BB_1}\), а затем найдем его длину, чтобы получить расстояние между прямыми \(AC_1\) и \(BB_1\).

Пусть \(\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{C_1} - \overrightarrow{A}\) и \(\overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{B_1} - \overrightarrow{B}\).

Теперь выполним вычисления:

1. Найдем векторное произведение \(\overrightarrow{AC_1} \times \overrightarrow{BB_1}\):

\(\overrightarrow{AC_1} \times \overrightarrow{BB_1} = \begin{bmatrix} i & j & k \\ C_1_x - A_x & C_1_y - A_y & C_1_z - A_z \\ B_1_x - B_x & B_1_y - B_y & B_1_z - B_z \end{bmatrix}\),

где \(i, j, k\) - единичные векторы вдоль осей \(x, y, z\) соответственно.

2. После вычисления векторного произведения получим вектор, который перпендикулярен обеим прямым. Его длину можно найти с помощью формулы:

\[|\overrightarrow{AC_1} \times \overrightarrow{BB_1}| = \sqrt{(AC_1 \times BB_1)_x^2 + (AC_1 \times BB_1)_y^2 + (AC_1 \times BB_1)_z^2}\],

где \((AC_1 \times BB_1)_x\), \((AC_1 \times BB_1)_y\), \((AC_1 \times BB_1)_z\) - компоненты вектора \(\overrightarrow{AC_1} \times \overrightarrow{BB_1}\).

Таким образом, после выполнения всех этих вычислений мы получим расстояние между прямыми \(AC_1\) и \(BB_1\).