Question

Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб с углом в 60 градусов. Найдите острый угол между большей диагональю нижнего основания и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани , если отношение высоты призмы к стороне ее основания равно корню из 2.

Answer 1

Для решения этой задачи давайте разберемся с особенностями данной призмы.

1. Основание призмы: ромб с углом в 60 градусов. Поскольку у ромба все углы равны, а один из углов равен 60 градусам, все остальные три угла тоже равны 60 градусам.

2. Отношение высоты призмы к стороне ее основания равно корню из 2. Обозначим высоту призмы через \( h \) и сторону основания через \( s \). Тогда у нас есть соотношение: \[ \frac{h}{s} = \sqrt{2} \]

Теперь рассмотрим треугольник, образованный большой диагональю нижнего основания, высотой призмы и диагональю боковой грани.

3. Рассмотрим треугольник с большой диагональю, высотой и диагональю боковой грани. Обозначим угол между большой диагональю и диагональю боковой грани через \( \alpha \).

Так как у ромба все углы равны 60 градусам, угол между высотой призмы и стороной основания равен 60 градусам.

Тогда у нас есть система уравнений: \[ \alpha + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ \] \[ \alpha = 60^\circ \]

Таким образом, острый угол между большой диагональю нижнего основания и диагональю боковой грани равен \( \alpha = 60^\circ \).