Question

ДАЮ 50 БАЛЛОВ! На сторонах треугольника АВС построены вне его равносторонние треугольники ВСА1 , САВ1 и АВС1 и проведены отрезки АА1 , ВВ1 и СС1 . Докажите, что эти отрезки пересекаются все три в одной точке.

Answer 1

Для доказательства того, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке, воспользуемся свойством центра тяжести треугольника.

Центр тяжести треугольника - это точка пересечения медиан треугольника, которые соединяют вершины треугольника с серединами противоположных сторон.

Построим медианы треугольника АВС и обозначим точки их пересечения с противоположными сторонами как М1, М2 и М3 (точка пересечения медианы с противоположной стороной обозначается также как середина этой стороны).

Так как треугольники ВСА1, САВ1 и АВС1 равносторонние, их центры тяжести совпадают с вершинами треугольника АВС (так как вершина равностороннего треугольника совпадает с центром тяжести).

Теперь рассмотрим треугольник М1М2М3. Так как М1, М2 и М3 - середины сторон треугольника АВС, то отрезки АА1, ВВ1 и СС1 являются медианами треугольника М1М2М3.

Следовательно, отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке, которая является центром тяжести треугольника М1М2М3.

Таким образом, мы доказали, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке.